Les structures algébriques - Partie 2 Le retour !

- Bien et maintenant, où cours-tu ? Vas-tu t'enfoncer dans les détails de la construction des Ensembles, ou vas-tu en revenir aux structures algébriques ?

- Je suis très loin d'avoir assimilé en détail l'articulation des 10 axiomes de la théorie ZFC, et ce sera intéressant pour axiomatiser notre propre approche, je pense en particulier aux axiomes 7 & 9 de l'infini et de la fondation (voir la dernière note de l'article). Mais je pense que ce premier rapide tour d'horizon nous permet de bien voir la charnière Ensembles / Groupes, et de conforter le point essentiel que j'ai avancé, à savoir l'étagement Imaginaire I1< I01< I0.

Ce que nous avons vu montre les difficultés rencontrées pour installer en I01 l'ensemble vide, que la théorie des Catégories nous a permis de situer en I0, au-delà de l'espace logique. D'où la nécessité de l'axiome 3 de l'élément vide. Par ailleurs cette entrée en force nécessite d'en faire explicitement le rappel dans pratiquement tous les autres axiomes. 

L'autre apport, c'est l'idée d'un élément premier en I1, défini par une propriété en I01 (Axiome 9) , d'un infini, et surtout de la nécessité de différencier l'élément de l'ensemble qui le contient, que je traduis par une différence de niveau I1/I01, ce que la théorie des Catégories introduit immédiatement en définissant le "morphisme".

Maintenant, et c'est finalement ce que je recherchais, la "brisure de symétrie" qui signe le niveau I01, c'est qu'en deçà il n'y a pas de symétrie (Axiome 9), juste le concept de "successeur", et donc que l'élément neutre n'y a pas sa place. 

- Tu cherches encore à te raccrocher au triptyque de Noether symétrie/ invariant/ incertitude. 

 - Effectivement ! Nous avons bel et bien une rupture de symétrie en I01, au sens le plus élémentaire, le plus intuitif du terme, et l'invariant qui y est attaché, c'est l'élément neutre qui s'introduit de lui-même à ce niveau.

- Et l'indétermination ?

- Il faudra y réfléchir en détail, mais je serais tenté de dire ceci: lorsque Im recule  suffisamment pour être en position ex post par rapport à I01, le premier niveau qui s'offre à lui, c'est IR, nous l'avons déjà vu, là où peut s'exprimer l'hypothèse de continu et tout ceci conforte ce que j'avais avancé dans le billet "La mécanique de l'Imaginaire". L'incertitude, c'est donc tout cet entre-deux qui se perd entre un élément et le suivant, dès que l'on se passe de l'hypothèse du continu.

En conséquence, je pense que nous avons suffisamment pointé la rupture de niveau en I01, pour revenir aux structures algébriques. Le premier point, et le plus important, c'est peut-être de rendre absolument évident que nos structures sont fondamentalement une exploration de SYMÉTRIES.

- Tu y arrives juste avec un bon siècle de retard !

- Désolé, mais je rapporte ici mes efforts pour répondre à mes propres interrogations, et non pour étaler un savoir académique sans intérêt. Le chemin importe autant que la destination car cela me permet de prendre conscience de mes propres blocages, comme tout dernièrement je refusais l'obstacle de cet axiome de fondation ! Seuls les blocages sont signifiants. 

- Soit, et comment vas-tu embrayer sur la théorie des Groupes ?

- Après avoir pris conscience de cette idée de symétrie, avec cet élément neutre qui s'impose comme une évidence en I01, je pense qu'il faut repartir des différences propriétés qui serviront à définir les différentes structures, pour mémoire :

1. Associativité;
2. Élément neutre;
3. Élément symétrique;
4. Commutativité;
5. Distributivité.

Je crois que nous avons bien situé les points 2/ et 3,/ quant au 5/, la distributivité, nous en reparlerons lorsque nous nous intéresserons aux structures utilisant deux lois internes (i.e.: x et +).

Il nous faut donc regarder de plus près les propriétés 1/ et 4/ qui ne semblent a priori pas poser de questions métaphysiques. 

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- Je ne peux m'empêcher de le rapprocher de l'axiome de la paire, dans la théorie ZF.

- Pourquoi ce rapprochement?

- Parce qu'en parlant des ensembles, on s'intéresse à 2 éléments, alors qu'avec les groupes, ou commence à 3 éléments, et l'idée qui me trotte dans la tête, c'est :"les quarks marchent par 3, les charges électriques par 2".

- C'est idiot, ça n'a rien à voir.

- Oui, je le sais, mais je le note maintenant, car j'ai le sentiment qu'il nous faudra repartir de là lorsque nous en parlerons. Je repense également au théorème d'Arrow qui établit l'impossibilité d'obtenir certainement une décision entre 3 votants (c'est la formalisation du paradoxe de Condorcet).

- Attention, tu vas finir par faire de la numérologie !

- Tu as raison, laissons cela pour voir plus en détail de quelle façon je peux construire un ensemble de trois éléments en me limitant à respecter les axiomes ZF. Partons de l'axiome 4 de la paire:

Pour "faire une paire", il faut déjà identifier notre premier élément x en tant qu'ensemble : x{x}, soit un premier saut I1 => I01.

Ensuite, j'effectue un deuxième saut pour insérer l'élément y, dans ce premier ensemble.

- Ne peux-tu pas le placer à côté ?

- Eh non justement ! Parce que je ne peux utiliser que l'appartenance "∈", dans mes constructions. Mon axiome m'autorise à élargir un peu mon ensemble précédent pour faire de la place à y. Donc:

• Saut n°1 :  x{x}
• Saut n°2 :  y{x;y}

- Comment vas-tu introduire le troisième élément z ?

- Si je m'en tiens à l'axiome 4 de paire, il me faut considérer à présent l'ensemble {x;y} comme un seul élément, au niveau I1, puis le remonter en I01:

• Saut n°3: {x;y}{{x;y}}
• Saut n°4: z{{x;y};z}

Tu vois tout de suite que je suis bloqué par l'ordre dans lequel j'effectue mes opérations, puisque nous sommes dans une pure succession d'actions entre I1 et I01 !

- Tu dois utiliser l'axiome 5 de la réunion pour te débarrasser des parenthèses internes, en considérant que x et y sont des éléments de l'ensemble final au même niveau que z, ce que tu as appelé "faire du yo-yo". Autrement dit, tu peux écrire en I01 : {{x;y};z} = {x;y;z}.

- Oui, mais avec cette procédure, il m'est impossible construire l'ensemble {x;{y;z}}. Et pourtant, en reprenant l'exemple de Lawvere dans "Conceptual mathematics", il est bien équivalent de dire que pour faire la vaisselle, on peut la laver, puis (la rincer et l'essuyer), ou bien (la laver et la rincer), puis l'essuyer : (laver,(rincer, essuyer))=((laver, rincer),essuyer). C'est là que la propriété d'associativité intervient dans la théorie des groupes, et non celle des ensembles, en complétant l'action primitive par une action symétrie qui n'était strictement pas définie par la la théorie ZFC.

- J'avoue avoir du mal à comprendre pourquoi ce n'est pas possible dans la théorie des Ensembles.

- Tu mets le doigt sur le point essentiel: fondamentalement, la théorie des ensembles ne s'intéresse pas à des "objets", mais à des "mouvements" ou à des "manipulations" qui ne sont repérables qu'en tant qu'ils se succèdent. En ce sens le terme "Ensemble" que l'on complète inconsciemment par "ensemble d'objets" est trompeur. À preuve le trésor d'imagination déployé pour manipuler un "vide" qui ne tient pas dans les cases, et doit être imposer (par un choix axiomatique) au niveau I01 d'une théorie ZFC s'occupant d'objets repérés à un niveau I1. En ce sens, la théorie des Catégories permet de comprendre plus simplement toute cette construction, parce qu'elle part du mouvement lui-même, le morphisme, qui peut se réduire à sa flèche, en oubliant l'objet.

L'effet paradoxal de cette construction, c'est que l'enregistrement de la succession des mouvements, induit une structure dans les ensembles, qu'il va falloir déconstruire intellectuellement au niveau I01.

- Et selon toi, c'est le rôle de la propriété d'associativité ?

- Oui, c'et le premier pas : en remplaçant {{x;y};z} par ((x.y).z), j''abandonne les crochets {} regroupant les "éléments" d'un ensemble, au profit des parenthèses () indiquant des opérations sur ces éléments.

Alors que la formation d'un ensemble résulte de mouvements entre {I1;I01}; les opérations sur les éléments de l'ensemble se définissent en I01.

- Après ce que nous venons de voir, il est évident que la commutativité est absolument hors de la théorie des Ensembles. Je ne peux pas dire que les deux actions:

sont équivalentes et que {x;y}={y;x} puisque nous identifions l'ordre des sauts avec la notion de "successeur". C'est même explicité, si besoin était par l'axiome 9 de fondation, qui interdit les cycles, pour justement permettre de fonder N, l'ensemble des entiers naturels sur une pure et simple relation de succession. Autrement dit, la propriété de commutativité des groupes est incompatible avec l'axiome 9 de fondation des ensembles !

Là encore, il s'agit de faire un pas de plus dans la déconstruction de l'ordre implicite que le concept de "successeur" induit dans les Ensembles.

- Et c'est grave, docteur ?

- Non, mais cela implique que l'on puisse faire des régressions infinies, et que nous plongeons, avec Pascal, notre Im dans un univers infiniment grand ou petit. Et là encore une rupture de symétrie en I01 portant cette fois-ci sur deux types d'infinis : 

• En deçà de I01: dans ZFC, l'axiome 7 de l'infini permet de concevoir l'infini de N, et l'axiome 9 impose un premier saut;
• Au-delà de I01, l'hypothèse du continu, nous permet de cerner infiniment l'objet initial { } par une série de cribles qui le tamisent de plus en plus finement.

- Mais la commutativité n'a rien à voir avec ceci !

- Pas directement, mais en forçant l'abandon de l'axiome 9 de fondement, elle indique clairement que nous élargissons notre champ de vision au-delà de la logique élémentaire confinée à {I1;I01}. Paradoxalement, cette propriété que l'on pourrait prendre comme une condition restrictive, permet en fait une ouverture, intellectuelle, une montée diachronique, en élargissant le champ des symétries.

Mais, ceci suppose que les sauts diachroniques soient équivalents ! 

- Tu vas nous reparler du principe d'inertie !

- Effectivement, nous avons déjà longuement parlé de la nécessité, en IR de définir un principe d'inertie, pour dire que les sauts I1=>I01 sont tous "égaux", et tu vois qu'il fallait que le Sujet (en Im) élargisse son champ de réflexion de I01 à IR, avec l'hypothèse du continu, pour pouvoir l'expliciter en I01.

Autrement dit, il faut effectuer  le saut I1<I01<Im => I1<I01<IR<Im et dépasser la logique pour envisager la commutativité en I01.

Et tu vois là encore la rupture de symétrie au niveau I01 !

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- Bien, maintenant que nous avons bien recadré les diverses propriétés des strucures algébriques par rapports aux axiomes ZFC de la théorie des Ensembles, il serait peut-être temps de continuer pour exploration de ces structures, non ?

- Oui, et comme nous avons pas mal déblayé le terrain, nous pouvons aller assez vite jusqu'à ce que nous ayons besoin de faire appel à la distributivité. Reprenons les schéma d'ensemble:

- Nous nous intéressons à la branche la plus basse du tableau, partant des ensembles pour aboutir aux corps. Le but, là encore n'est pas de lister ce qui est directement accessible sur Wikipédia, mais ne nous attarder sur les points de rupture, de la construction. Les premières structures n'utilisent qu'une loi de composition interne, les anneaux en utilisent deux. Par "loi de composition interne" il faut comprendre une fonction qui associe à deux éléments d'un ensemble, un troisième du même ensemble.

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C'est la structure la plus élémentaire, qui dote un ensemble M d'une loi de composition interne "*". Le mage est noté (M;*). Comme c'est une "loi", donc un discours porté sur un Ensemble, il s'inscrit au niveau Imaginaire I01.

Le magma peut être doté d'un élément neutre (il est  dit "unifère") ou/ et être associative (ou parle alors de "semi-groupe").

Exemples de magmas : (N,x) et (N,+)

C'est un semi-groupe unifère, où chaque élément possède un symétrique. Autrement dit, un Ensemble possédant:

• Une loi de composition interne;
• Associatif :   a,b,c ∈ G => (a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c;
• Un élément neutre "e" :  a ∈ G;  b ∈ G => a*b=b*a=e

Si la loi est commutative, alors le groupe est dit "Abélien":

• commutativité :   a,b ∈ G => a*b = b*a

Le Groupe est déjà une structure très riche de possibilités, (voir déjà sur l'article Groupe de Wikipédia). Mais ce qui nous important pour notre réflexion, c'était de comprendre pour, fondamentalement, ce concept est intimement lié à la notion de symétrie. Je pense que nous avons pu l'établir en notant une coupure nette d'avec la construction des Ensembles.

Et ce qui fait lien avec les structures géométriques qui nous attendent au-delà de I01, en rupture avec la genèse séquentielle des Ensembles en-deçà, c'est la possibilité de construire des "cycles". 

D'où la notion de "groupes de symétries", et celle de "groupe fondamental de Poincaré"

Les structures avec une loi de composition interne forment une famille dont les membres se différencient par les caractéristiques de leur loi de composition interne. Ce qui donne sur tableau (partiel) suivant :

Il ne s'agit bien entendu que d'un survol, se limitant au besoin que j'en ai.

C'est une famille de structures qui munissent un Ensemble de deux lois notées soit ⊕ soit ⊗. Toutes les structures de cette famille sont des groupes abéliens relativement à la loi additive ; c.-à-d. que la loi ⊕.

a/ Distributivité :

La loi ⊗ multiplicative est au minimum distributive à droite ET à gauche par rapport à l'addition ⊕. La symétrie gauche-droite marque qu'ici la multiplication est strictement au même niveau I01 que l'addition; nous verrons ultérieurement, que ce n'est plus nécessairement le cas pour la loi externe sur les Corps.

• Distributivité :  a, b, c ∈  A => a ⊗ (b⊕c)= (b⊕c) ⊗ a = a⊗b ⊕ a⊗c

Nous avons à peu près la même variété de structures que précédemment, portant

• D'une part sur les différences de propriétés de la loi multiplicative;
• D'autre part sur la loi d'ordre que peut offrir la loi additive;
• Enfin sur la le rôle de l'élément additif pour la loi multiplicative (absorbant)

- C'est nouveau ces concepts d'ordre et d'absorbant, pourquoi s'invitent-t-ils ici dans cette taxinomie ?

b/ Relation d'ordre :

- C'est ce qui introduit ces "structures d'ordre" que nous avions vues comme plus "rustiques" que les "structures algébriques" (voir "du vecteur à l'espace affine"). Je la débusque ici en entrant dans le détail de la taxinomie des anneaux, quoique j'eusse du la traiter à part.

- Mais le concept d'ordre découlant directement de celle de successeur, s'agit-il réellement d'une "structure" ou bien est-ce une notion de la théorie des Ensembles ?

- Le problème c'est que la notion de successeur s'écrit avec le connecteur "<" au niveau I01 quand la relation d'ordre se définit avec le connecteur "≤ ". 

Formellement, une relation interne sur un ensemble E est une relation d'ordre "≤" si pour tout x,y,z de E, nous avons :

• Réflexivité : x ≤ x (sans la réflexivité, on parle de "pré-ordre")
• Anti symétrie : x ≤ y et y ≤ x => x=y
• Transitivité : x ≤ y et y ≤ z => x ≤ z

Or, lors de la construction de E, nous sommes obligés de porter chaque élément au niveau d'un ensemble qui le contienne, avec  un saut portant de l'un à l'autre:

• x en I1;
• x{x}  : saut I1 => I01;
• {x} en I01.

Avec l'axiome 9 de fondation ou de régularité, nous avons vu que l'on ne peut pas avoir x ∈ x, or là, pour pouvoir écrire x=x (réflexivité), il faut bien que j'amène en I01 un x pour ensuite y rapporter le même élément x, quand le premier est déjà identifié à {x}, autrement dit x = {x}; ce qui est impossible. Impossibilité que notre approche rend évidente: écrire x={x} (équivalant à définir le morphisme identité), demande au moins 1 saut diachronique, entaché nécessairement d'une certaine indétermination, que l'on ne peut lever que par une déclaration instituant le concept "=" au niveau I01 du discours !

Le concept d'égalité x=x introduit une notion de "symétrie", qui est évidemment inconcevable en deçà de I01 où elle dégénère en successeur, et la relation d'ordre est bel et bien une structure ne pouvant s'écrire qu'en I01, tout comme nos applications binaires.

c/ Élément absorbant :

- C'est une notion qui s'impose lorsque coexistent deux lois ⊗ et ⊕. La question est de connaître ou définir l'action de l'élément neutre de l'addition sur la multiplication.

- Pourquoi ne pas l'avoir envisagé avant ?

- Cette question n'a pas de sens dans la théorie des Ensembles. Il convient donc de définir en I01 la façon qu'a la multiplication ⊗ de traiter l'élément neutre de l'addition ⊕ puisque, je te le rappelle, la multiplication est originellement une action diachronique entre I1 et I01, et que le neutre de ⊕ n'est concevable qu'en I01. Une façon de dire que la multiplication n'a pas d'effet sur le 0, c'est de dire que: 

• Soit : pas d'action sur ce qui existe ne mène à rien: 0 ⊗ a = 0
• Soit : une action sur ce qui n'existe pas ne donne rien: a ⊗ 0 = 0;

Dans le premier cas, ou dit que l'élément 0 est "absorbant à gauche" et dans le second cas "absorbant à droite".

 d/ Diviseurs de zéro :

Là encore, cette notion qualifie en I01 un rapport entre l'élément neutre de ⊕ et ⊗. Ce qui amène une distinction gauche-droite pour les mêmes raisons que nous venons de voir au sujet de l'élément absorbant.

Deux possibilités:

• :
• .

Dans le premier cas, a est diviseur à gauche et dans le second cas à droite. Ces notions, intimement liées elles aussi à celle de symétrie, introduisent celle de quotient, sur laquelle nous reviendrons en détail.

J'arrête là mon exploration de la lexicographique, parce que l'on s'enfoncerait dans des analyses bien trop éloignées de notre but qui ne vise qu'à pointer les ruptures significatives dans la hiérarchisation des structures algébriques !

- C'est l'étape importante pour nous, car c'est à partir de cette structure que nous allons pouvoir échafauder la topologie, nous évader de I01 pour explorer l'espace Imaginaire {I01;1R}. 

Ce sera notre point de départ pour la prochaine étape, ouf, nous avançons petit à petit !

Bonne rumination.

Hari