L'hypothèse du continu

- Et maintenant que tu as compris ce qu'est un "corps", comment vas-tu attaquer la falaise ?

- L'idée qui me guide et définit la démarche "entropologique", c'est de suivre le chemin de moindre énergie pour avancer, et si possible, comme tout le vivant nous le montre dans la nature, récupérer ce que l'on a sous la main pour fabriquer les outils dont on a besoin, ce que Lévi-Strauss appelait du bricolage.

Ici, en creusant le langage mathématique, nous sommes arrivés à identifier un premier saut diachronique entre deux niveaux Imaginaires I1 et I01.

• Le niveau I1, le plus élémentaire au sens du langage qui s'y déploie, point ultime avant l'indicible tuchê (en référence au diptyque Lacanien tuchê/ automaton) du Réel, se caractérise par la prise de conscience la plus basique, celle de "l'objet" par l'enfant aux tous premiers stades de son développement, ce que le mathématicien formalise par "l'objet final" ou singleton en théorie des catégories, cette dernière étant, me semble-t-il, le langage mathématique le plus élémentaire qui soit. Et donc : ∃ {*} au niveau I1.
• Le niveau I01 est celui où la théorie des catégories nous permet de concevoir "l'ensemble des parties" de l'objet final. L'image la plus simple que l'on puisse en donner étant { ;*}. 
• Le terme "saut diachronique entre I1 et I01" est une étiquette de niveau I01, se référant à l'indicible mouvement portant  de I1 à I01. Son image en théorie des Catégories est la flèche d'un morphisme.

Tout ce que nous avons vu au fil des 3 derniers billets tient dans cet espace Imaginaire.

- Tu nous l'a rabâché depuis fatigué, cependant tu ne va pas me faire croire que je limite mon imagination à si peu. Si je pense à un paquebot ou une banane, je ne suis pas du tout dans le même univers mental, ni affectif, ni linguistique, ni technologique, ni scientifique.

- Oui, bien sûr, toutefois la structure des outils que nous manipulons pour en parler garde une certaine similitude d'un champ à l'autre, et c'est pourquoi nous utilisons des métaphores pour parler d'un sujet avec des outils développés dans un autre champ de connaissances, ce que nous avons rapproché des "transformations naturelles". Et là aussi nous utilisons le langage de la théories des catégories, pour décrire ces dernières comme des "ponts" permettant de passer d'une catégorie à une autre. L'idée que j'ai en tête, j'en ai déjà parlé, serait de faire un parallèle métonymie/ foncteur et métaphore/ transformation naturelle. Mais je reprendrai le chantier lorsque j'aurai une meilleure maîtrise de la théorie.

Et donc, pour en revenir à notre sujet, une fois que nous décapons toutes nos représentations de leurs particularismes, ce qui fait qu'une rose est rouge et un merle chanteur, nous revenons à ce squelette que nous nous sommes appliqués à rendre bien propre sur lui, tout beau tout blanc (voir en complément la note du 04/11/2018 en fin de billet).

- D'accord, et donc ?

- Et bien, à l'aide de transformations élémentaires et à force de répéter toujours le même geste (c'est l'automaton du diptyque Lacanien), les mathématiciens sont parvenus à créer des objets au niveau I01, à partir de cet unique objet {*} en I1. J'en parle vulgairement comme de "sauts diachroniques"  quand le mathématicien parlera de "morphismes".

- Donc, nous avons escaladé notre Imaginaire, pour nous trouver sur un plateau, et de là, il nous faut attaquer la falaise !

- Précisément. Et par souci d'économie, nous récupérons la corde qui nous a servi à passer de I1 à I01, pour atteindre le palier suivant que nous avons déjà identifié comme IR, celui où nous pouvons concevoir l'hypothèse du continu et exprimer un principe d'inertie. Idéalement, il s'agit de passer des morphismes aux foncteurs et transformations naturelles, puis aux ponts d'Olivia Caramello.

Mais nous avons fait une pause, afin de recouper tout ceci par une démarche plus historique, en espérant comprendre comment les idées se sont développées aux XIX^e et XX^e siècles, en passant de Galois à Cantor, Poincaré, Hilbert, Noether, pour arriver à Grothendieck.

- Pourquoi cette pause ?

- Parce que j'ai du mal à avancer en me contentant de la théorie des catégories. C'est très utile de comprendre d'entrée de jeu la différence entre objet initial { } et objet final {*}, mais j'ai besoin de vérifier mes hypothèses. C'est pourquoi, en revenant ensuite sur la théorie des Ensembles ou celle des Groupes, il était très satisfaisant de voir que la position de l'objet initial, vide { } en I0, explique simplement la structure d'un discours qui doit manipuler en I01 ce concept hors de sa portée et devrait "idéalement" (vu de I01) se trouver en I1. Et donc ce retour historique à la genèse des concepts m'aide à les mieux comprendre et à identifier la façon dont nous les manipulons. La satisfaction que j'en retire est d'ordre esthétique : ça rend les choses plus simples à voir. 

Pour les foncteurs, ou les transformations naturelles, je comprends intellectuellement que c'est le pas suivant du concept de morphisme, mais j'ai encore du mal à le ressentir comme une évidence, or, c'est à ce niveau de familiarité que je veux parvenir.

- Comment faire ?

- Comme toujours : partir de mes acquis ou de mes préjugés pour les revisiter, les comprendre d'une autre manière, les désosser et voir où cela me mène. Mon objectif pour l'instant reste de retrouver Évariste Galois.

- Et donc, d'où pars-tu?

- Je vais économiser mes forces en revenant aux fondamentaux. Pour passer de I1 à I01, je conjoins un concept synchronique (ici {*}) à un concept diachronique (ici le morphisme identité {*}=>{*}), pour définir au palier I01 tout un ensemble d'objets, dont un qui nous intéresse particulièrement, celui de "corps" (noté K habituellement).

Et bien l'image que je peux me faire du saut suivant pour passer de I01 à IR, c'est d'imaginer un mouvement utilisant l'objet "corps" que nous venons de définir pour atteindre un objet que je définirais comme un "espace" en IR, et dont l'élément le plus simple serait un "point" de cet espace.

- Quid du concept diachronique entre ces deux objets synchroniques ?

- Ce serait notre bon vieux vecteur, celui qui a bercé toute ma jeunesse sur les bancs d'école.

- Oui, mais si tu représentes ton "saut diachronique" entre I01 et IR, par ce type d'objet, tu structures ton saut, et il n'a rien de diachronique ! Où vas-tu retrouver ton indétermination ?

- Oui et non.

• Oui, je le structure,
• Cependant, je pars d'un corps K, construit sans l'hypothèse du continu, pour arriver à l'espace affine, le plus simple de tous, construit avec l'hypothèse du continu.

Elle est là la "clocherie de la chose" comme dit Lacan. Et cependant, je n'ai lu jusqu'à présent aucune remarque à ce sujet dans la littérature qui me soit tombé sous les yeux. J'ai peut-être mal cherché... Écoute, j'ai conscience que c'est une démarche provisoire, qu'il faudra reprendre à l'aide de la théorie des Catégories. Considère donc tout ce qui suit comme un costume cousu à points de bâti, dans l'attente du premier essayage.

- Mais qu'est-ce que tu cherches à comprendre finalement ?

- Comment représenter un objet en IR à partir d'outils définis en I01.

- Peux-tu préciser pour le mal comprenant que je suis ?

- Juste un rappel alors, sinon nous n'avancerons pas. Pour définir des objets en I01, à partir d'éléments en I1, le Sujet, qui se représente en Im dans son discours, n'a aucun mal, puisqu'il a pleine conscience des deux niveaux : I1 < I01 < Im. C'est ce que nous avons appelé "discours rationnel logique".

Maintenant, l'espace construit en IR, est une idéalisation de l'expérience que nous avons du Réel, de l'espace où nous nous situons, et notre façon de le construire doit refléter aussi fidèlement que possible cette expérience. C'est toute la démarche des géomètres, qui commence avec Euclide, passe par les peintres de la Renaissance italienne avec la perspective, et que nous retrouvons dans les concepts de relativité du point de vue en physique et de description locale en mathématiques.

La difficulté tient au fait que le Sujet, en Im, prétend porter un discours rationnel sur quelque chose qu'il ne peut voir en son entier. J'ai bien conscience que sous mes pieds les Chinois marchent la tête en bas par rapport à moi, mais cela reste une construction intellectuelle, que je ne pourrais jamais vérifier de mes yeux, même et surtout si je vais en Chine (en avion, pas à pied) à leur rencontre.

Et pour faire face à ce dilemme, il faut bien que moi, en Im, tenant un discours global, puisse me référer à une petite représentation de moi-même en Im' qui n'aurait qu'une vue locale de l'ensemble.

• Je (Im) sais que la terre est ronde, et tourne autour du Soleil.
• Je me balade (Im') dans mon jardin et vois le Soleil se coucher à l'Ouest.

Autrement dit, je me dédouble : Im' < Im, et je le fais constamment, comme ici en imaginant cet échange entre moi et moi, comme Maxwell et son démon, que nous notons DM en cas de besoin, comme Socrate et son démon sur l'épaule, comme Pinocchio et Jiminy Cricket.

- Ok pour ton vecteur comme concept diachronique, mais qu'en est-il de la notion de répétition, car elle aussi doit évoluer.

- Effectivement, il ne suffit pas de définir un "mouvement" à l'aide d'un vecteur sur un corps K dans l'entre-deux {I01;IR} mais il faut également donner un sens à sa "répétition".

- Je ne te suis pas bien. Une répétition reste une répétition, non ?

- Oui et non.

• Oui, le concept de que nous avons repéré entre I1 et I01 conserve sa signification: tout simplement parce que je n'oublie pas un concept en passant d'un niveau au niveau supérieur;
• Mais il s'enrichit d'autres possibilités en I01.

J'ai très longuement insisté sur le caractère initialement diachronique de la multiplication. Il s'agit, primitivement, de dénombrer les sauts I1 => I01 de {*}. Mais nous avons vu comment elle se développe progressivement en acquérant d'autres caractéristiques (transitivité, associativité, élément neutre, symétrie) et comment elle traite l'élément { }. Nous suivons la trace de cette évolution sur les tableaux définissant les différentes structures algébriques pour arriver à celle de corps, où la multiplication est parée, si je puis dire, de ses plus beaux atours.

Et bien, cette multiplication enrichie en I01, comme nous l'avons vu, va nous sertir d'automaton entre I01 et IR.

- Si je te suis bien, ce que tu décris comme une succession de "morphismes" entre I1 et I01, devient une multiplication de vecteur entre I01 et IR ?

- Oui, et pour faire la différence avec la multiplication qui intervient intrinsèquement  dans la définition d'un corps, nous parlerons ici de "multiplication externe".

Ceci dit, notre succession primitive garde un sens. Je peux donc, soit construire des regroupements de vecteurs, soit agir sur eux grâce à une "multiplication externe".  Dans le premier cas, je crée des "champs de vecteurs", dans le second j'affecte leur forme, comme nous le verrons en détail. Cette double possibilité d'actions nous ramène à la discussion que nous avons déjà eue à ce sujet (voir "etc.").

- Mais, ta "multiplication externe", qualifiant un saut diachronique I01=>IR, ne doit pouvoir s'exprimer qu'à ce dernier niveau, n'est-ce pas ?

- Effectivement; ce qui induit une différence sensible entre "multiplication interne" vue en I01 et "multiplication externe" vue en IR. Il nous faudra être attentifs aux conséquences qui en découleront.

Et nous répétons l'opération qui, en I01 nous a permis d'associer ⊗ et ⊕ :

• En I01, nous utilisons conjointement deux lois ⊗ et ⊕;
• En IR, nous parlerons de "multiplication scalaire" et "d'addition vectorielle"

Les "scalaires" étant les objets de notre corps K de notre base I01.

C'est ce que nous allons voir en détail maintenant.

(Nota : Pour le premier mouvement I01 => IR, je n'ai pas encore fait l'hypnothèse du continu, et donc mon corps K se limite à des éléments tels que les rationnels Q, nous en discuterons ultérieurement.)

Formellement :

Soit un corps commutatif K (soit Q  pour les rationnels, R pour les réels ou C pour les complexes);

Un espace vectoriel sur K ou K-espace vectoriel est un ensemble E muni de deux lois de composition :

• Une loi de composition interne :"+" : E² => E appelée addition vectorielle
• Une loi de composition externe à gauche "." : KxE => E appelée multiplication par un scalaire.

Ces deux lois ont les propriétés suivantes:

• (E,+) est un groupe abélien, c.-à-d. que pour tout vecteur u,v,w de E:
  • commutativité :u+v = v+u
  • associativité : (u+v)+w = u+(v+w)=u+v+w
  • élément neutre 0_E : 0_E+u=u
  • élément symétrique : u+(-u)=0_E
• La loi "." est : (pour tout u, v de E et λ, η de K )
  1. distributive à gauche par rapport à la loi + de E : λ.(u+v) = λ.u + λ.v
  2. distributive à droite par rapport à la loi ⊕ de K : (λ⊕η).u = λ. u ⊕ η.u
  3. associativité mixte par rapport à la loi ⊗ de K : (λ⊗η).u = λ ⊗ (η.u)
  4. l'élément neutre 1 de ⊗ pour K est l'élément neutre à gauche de . : 1.u = u

Comme on pouvait s'y attendre, il n'y a aucun problème à reporter en IR la définition de la loi associative "+", concept synchronique du niveau I01, et notre compréhension d'un groupe abélien (E,+) ne diffère pas de celle que nous avons d'un groupe en I01 utilisant des scalaires.

Par contre, nous voyons immédiatement les difficultés que nous avons à préciser les propriétés de la multiplication par un scalaire ! Tentons de détricoter tout ceci grâce à notre approche.

En premier lieu, relevons qu'il n'y a aucun lien entre ⊕ en I01 et + en IR. C'est évident, puisqu'il s'agit de deux concepts synchroniques de niveaux différents. Leur seul rapport est de type "métaphorique", ce que souligne le qualificatif "additif" commun à ces deux lois.

Passons maintenant en revue les axiomes définissant la loi multiplicative externe à gauche.

Le terme de "gauche" nous renvoie immédiatement à ce que nous avons vu poindre dès la construction des anneaux (voir annélides dans "Les structures algébriques partie 2"). Le caractère "à gauche" signifie une action portée par l'élément de gauche sur celui de droite. Ici, l'action est un saut diachronique I01 => IR, réifié par le concept "." en IR.

Il nous faut donc définir en IR, les relations de ce concept diachronique avec les trois lois synchroniques avec lesquels il doit se situer, i.e.:

• En IR, sur l'ensemble vectoriel, avec la loi + : la distributivité limité à gauche souligne que la notion de "multiplication" n'est pas complètement réifiée au niveau IR, qu'elle garde son caractère "d'action". Nous sommes loin du concept de produit vectoriel !
• En I01, sur le corps K, avec les lois ⊗ et ⊕.

Concernant la loi ⊕ de K:

• La distributivité à gauche de . par rapport à ⊕ n'aurait aucun sens, puisque le couple conceptuel ⊗ et ⊕ est formé antérieurement à la conceptualisation de "." ! Une action sur ⊕ ne peut se définir qu'à l'aide de ⊗.
• Par contre, on peut concevoir de construire une action (λ⊕η) s'appliquant ensuite sur u à l'aide de "." soit (λ⊕η).u. et je n'ai pas de difficulté conceptuelle à comprendre cette distributivité, qui n'est que la réplique en IR de celle qui existe déjà en I01.

Concernant la loi ⊗ de K :

• L'associativité mixte de . par rapport à ⊗ permet de transférer en IR la compréhension que nous avons en I01 du concept de "répétition". Il est équivalent de:
  • Constater en I01 λ répétitions de η soit (λ⊗η) ; puis en IR, (λ⊗η) répétitions de u soit: (λ⊗η).u ; ou bien
  •  Constater en IR η répétitions de u, soit : (η.u), puis répéter l'opération λ fois soit λ ⊗ (η.u).

Cette associativité mixte nous rassure quant à notre compréhension primitive de la "répétition" dune action qui n'évolue pas, qu'il s'agisse de sauts I1=>I01 ou I01=>IR.  Cet axiome identifie un aspect fondamental de notre entendement, sur lequel nous aurons certainement l'occasion de revenir. 

• Élément neutre :

Bien entendu, l'élément neutre 1 de K ne conserve une signification qu'en tant qu'il désigne une "action", à gauche donc de . sur E en IR. : 1 fois u = u <=> 1.u

Une identification à droite n'aurait aucun sens !

- Je vois que tu insistes sur le caractère d'évidence qu'apporterait ton approche, il ne reste plus qu'à en convaincre le lecteur ! Mais le concept d'espace vectoriel ne se limite pas au corps Q, comment passes-tu aux corps plus complexes ?

- C'est toute la question de la répétition qui se pose à nouveau !

Lors du premier saut, je fais exister ce niveau IR, d'où je peux émettre cette hypothèse du continu.

Nous avons vu comment Cantor établit,  grâce à son argument diagonal, qu'il n'y a pas de possibilité de passer continument de N à R. Nous sommes partis de là pour caractériser IR. Maintenant que nous avons défini ce qu'est un vecteur, vu comme le concept diachronique me permettant de construire IR à partir des concepts définis en I01, avec de façon implicite IR < Im, je peux donc choisir en  Im d'énoncer sur ce tout nouveau niveau Imaginaire, l'hypothèse du continu.

Comme E est un "ensemble", respectant les lois du genre, je peux ensuite ramener ce dernier en I01 pour "jouer au yo-yo", comme me le permet l'axiome 5 de la réunion (voir article "Des Ensembles et des Groupes").

Et donc, dans l'itération du premier saut, je peux concevoir en IR des objets dotés de "structures" de niveau I01 portant sur des objets de niveau IR.

Elle est précisément là cette indétermination, cette "clocherie de la chose" dont je parlais antérieurement, dans ce décalage entre le niveau de la structure et celui de l'objet auquel elle s'applique !

Et tu vois sans doute en quoi ce saut I01 => IR est double :

• D'une part je passe d'objets discontinus à continus; c'est la diagonale de Cantor qui constate la radicale différence en N et R, permet de construire une droite et, par itération, des espaces affines dotés d'autant de dimensions que tu fais d'itérations,
• D'autre part des structures vectorielles qui deviennent elles aussi de plus en plus complexes à chaque itération, lorsque K passe de Q à R puis à C etc.

Mais, et c'est de l'ordre de l'évidence, avec notre façon d'explorer les maths, la structure a toujours un coup de retard sur son objet!

Ce qui mérite toute ta réflexion, sur ce, je te souhaite un bon dimanche.

Hari.

Nota du 04/11/2018:

Je le note ici, pour y revenir plus en détail dans un autre billet:

Lorsque je dis que notre Imaginaire s'organise en niveaux : R.../I1/ I01/ IR/ I#/.../I0 / S, et surtout lorsque je m'appuie sur des considérations mathématiques pour en déduire qu'il n'y a aucun niveau possible entre I1/I01, ou bien entre I01/IR, l'idée ne vient que c'est une organisation minimale pour un Sujet ayant une certaine appréhension de la réalité. Rien ne me dis que d'autres organisations sont impossibles.

Par exemple, lorsque j'ai écrit mes premiers billets sur les maths, ignorant les notion d'éléments initial et final, je n'adoptais pas la même organisation, et j'imaginais beaucoup plus de niveaux. Autrement dit, c'était une organisation "possible", pas la meilleure, mais possible.

- Mais alors pourquoi choisir une représentation plus qu'une autre ?

- Ma réponse, qui est pleinement dans la philosophie de cette "entropologie" souhaitée par Lévi-Strauss, c'est qu'il s'agit toujours d'une question d'économie. L'organisation la meilleure est la structure la plus courte, celle qui utilise au maximum la répétition du même avec un étagement Imaginaire minimum... C'est valable à tous les niveaux de notre expérience, dans la gestion d'une industrie, le développement d'un logiciel, ou d'un automate, comme dans le vivant, et in fine dans notre propre cerveau.

Ce qui oriente ma réflexion dans la direction suivante: la recherche mathématique a le souci de réduire le nombre de niveaux Imaginaires auxquels nous créons nos concepts à leur strict minimum.

Et c'est notre fil directeur : rechercher une organisation qui, pour un horizon donné, utilise, non seulement le minimum d'axiomes, et de concepts, mais également le minimum de niveaux. D'où ce souci d'élégance, qui va avec la simplicité des raisonnements que l'on développe...

- Comment savoir si j'ai atteint cet état minimum?

- Précisément lorsque dans un saut récessif Ik+1 => Ik, tu observes qu'un concept synchronique (stable) dégénère en diachronique, associé à une rupture de symétrie et une indétermination (toujours Noether).

- Autrement dit, c'est un processus régressif ?

- Ou plutôt "réflexif", en ce sens qu'il faut déjà avoir formé le concept pour le déconstruire, ce qui se conçoit assez bien: la recherche d'une économie est une action seconde, concernant un processus déjà connu, ou déterminable.