Une approche "enthropologique" des "catégories" mathématiques # 4

Je vais continuer en français (cf. : article précédent # 3), parce que cette lecture du premier chapitre de «conceptual mathematics», induit beaucoup plus de commentaires que je ne l’imaginais au début. De plus, les statistiques du blog indiquent que l’anglais rebute les abonnés, sans en amener de nouveaux donc, retour au français. Autre point : l’écriture mathématique est un peu compliquée sur ce blog, l’éditeur n’utilisant ni les indices, ni l’écriture des fonctions. Désolé pour cet embarras, que j’essaie de réduire au maximum.

Nous en étions à la fonction identité f = 1A; telle que 1A de (A)= A ou 1A(A)=A.

Nous avons vu que le langage mathématique remplace :

• Un discours diachronique portant d’un référé A au niveau Imaginaire IA à sa représentation ou à son référent (dénommé également A) à un niveau Imaginaire supérieur IAB,
• Par un discours synchronique au niveau IAB qui porte de « A » en tant que domaine à « A » vu comme codomaine.

Bien entendu, cette réduction s’accompagne d’un appauvrissement du vécu : je ne relate plus une action, mais j'en rapporte le résultat, j’en fais un récit ex-post, une fois la chose accomplie.

Je voudrais exprimer la chose de façon à bien vous la faire ressentir.

Revenons à l’exemple pris Mary => coffee. Avec Mary appartenant au domaine A = (John, Mary, Sam) et coffee au codomaine B = (eggs, toast, oatmeal, coffee).

Pour que la phrase Mary => coffee ait un sens intelligible, il faudrait que d’une part Mary en ai un, et coffee aussi. Autrement dit, il faut les « introduire » au niveau où s’effectue leur mise en rapport. De même que dans une pièce de théâtre, il y a toujours une scène d’exposition, pour présenter les personnages. Pour chacun des concepts employés, il faut bien, comme dans un conte de fées commencer par « il était une fois ». Et cette formule magique est proprement le sens que je donne à la fonction identité : il était une fois 1 = 1, c’est le premier pas en mathématiques (voir l'article "regard enthropologique sur les maths suite 1").

Vous n’en êtes pas convaincu ? Et bien, remplacez les termes Mary et coffee par «azefjb» et «xbe» et essayez maintenant d’expliquer à un enfant : azefjb => xbe. La première question qui fusera de sa bouche c’est : « qu’est-ce que c’est azefjb et xbe ? ».

Le mathématicien s’en sort en disant qu’il se fiche éperdument de le savoir, ce qui compte pour lui étant la structure même de la relation qu’il présente. La seule réponse générale qu’il apporte à notre enfant curieux c’est qu’un « objet » (comme Mary ou azefjb) est une « collection d’objets ». Autrement dit, il renvoie la réponse dans les tréfonds de son Imaginaire, en reportant, comme nous l’avons déjà vu, la confrontation au Réel au terme improbable d’une régression fractale. Comme le terme de la course de la tortue de Zénon.

Soit, mais ce qu’il faut comprendre, c’est bien l’éloignement du vécu qui accompagne cette montée Imaginaire.

Une fois ceci bien ressenti, alors, et alors seulement, on peut inverser notre point de vue. Une fois constitué, le récit mathématique porte sur des structures exprimables en IAB, et chaque actualisation particulière d’une catégorie, définie en IAB, dont on donne un exemple particulier avec des éléments définis (donc à des niveaux Imaginaires inférieurs Ix avec Ix < IAB, peut être abordé selon une opposition linguistique repérée par la mécanique quantique : intrication / décohérence. Nous avions déjà abordé ce thème (voir l'article: "géométrie et symétries") et nous y reviendrons sans doute…

Bien, bien, bien. Une fois faite cette révision du précédent article, il nous faut aborder maintenant les trois éléments suivants, qui terminent le premier chapitre de « conceptual mathematics».

1. La possibilité d’utiliser, pour représenter une même règle, soit une représentation externe, soit une représentation interne ;
2. Les lois de l’identité ;
3. La règle associative.

Que j'aborderai dans l’ordre 1, 3, 2.

1/ Représentations externe et interne

Nous avons vu le plan Imaginaire (i.e. : notre plan IAB), celui du discours synchronique où se définit une catégorie, comme un plan projectif où nous mettons en relation les référents (A & B), appréhendés comme des regroupements (à leur niveau Imaginaires respectif IA & IB) que l’on définit en extension par leurs éléments (John, Mary, Sam) et (eggs, toast, oatmeal, coffee), à des niveaux Imaginaires plus élémentaires (Ia < IA pour les éléments de A et Ib < IB pour ceux de B).

La fonction identité du mathématicien, nous dit que chaque objet reste identique à lui-même lorsque l’on saute d’un niveau Imaginaire à l’autre :

• 1a entre Ia et IA indique que l’élément imaginé en Ia est le même que celui repéré dans le regroupement A, en IA
• 1A entre IA et IAB laisse inchangé l’objet a(repéré après cette première ascension en IA) sauf qu’il est maintenant projeté en IAB.

Dans ce contexte, l’élément a, projeté en IAB; reste identique à l’objet élémentaire en Ia, c’est comme si nous disions : (une fois) (une fois) a. Soit :

1A ° 1a ° a = a.

L’opération 1x est véritablement un ascenseur diachronique.

D’où cette faculté de repérer une fonction ou application f en IAB :

• Soit par une représentation externe : la relation entre domaine A et codomaine B, par une simple flèche, qui « résume » la fonction f ;
• Soit par une représentation interne : en allant dans le détail de la fonction f, pour repérer chaque connexion au niveau des éléments constitutifs des objets A et B.

On voit bien derrière la possibilité de cette double représentation, le rôle fondamental qu’y joue la définition de la fonction identité, qui véritablement fonde la possibilité d’un tel double langage.

2/ La règle associative

De même que précédemment, la fonction identité permet de parler sur un même niveau commun (appelons-le IABC) de trois objets représentés chacun à un niveau Imaginaire qui lui soit propre IA, IB, IC, sans rapport hiérarchique entre eux. Le nœud commun entre ces objets étant précisément celui que j’établis par la règle que j’instaure entre eux au niveau IABC.

Je pourrais, bien entendu passer des plans IA, IB et IC à IABC par différents paliers Imaginaires :

• IA, IB, IC, ensuite IAB et IBC, ensuite IABC

ou bien:

• IA, IB, IC, ensuite IAB et ensuite IABC

Il y a quelques différences sensibles entre ces différentes possibilités de construire la relation finale entre nos trois objets A, B, C.

• Premier cas: les deux fonctions f et g sont toutes deux définies simultanément au niveau final IABC;
• Deuxième cas: les fonction f et g; sont définies indépendamment l'une de l'autre, chacune à un niveau Imaginaire particulier (respectivement IAB et IBC);
• Troisième cas: la fonction f est définie antérieurement à g, puisque g est repéré directement au niveau IABC lorsque celui-ci est constitué, postérieurement au niveau IAB.

Nous voyons donc que la règle associative ignore les différences temporelles qui caractérisent chacun des processus Imaginaires permettant de passer des objets A,B,C à l'expression finale du lien qui les tient tous ensemble.

Là aussi, la règle associative efface ces constructions intermédiaires. Ce qui marque encore une différence avec notre réalité quotidienne. En effet, la question peut se poser de savoir si la définition de g dépend ou non de celle de f.

Considérez le processus suivant en 3 étapes:

1. Vous tombez amoureux,
2. Vous présentez les alliances à votre fiancée
3. Vous vous marriez et lui passez la bague au doigt.

À priori, votre fiancée s'attend à ce que les alliances que vous lui présentez aient été achetées postérieurement à votre rencontre. Essayez, seulement de lui annoncer que vous aviez acheté ces alliances, longtemps avant de la connaître, à tout hasard ou en prévision d’un si beau jour : vous constaterez alors, à sa réaction, que l’ordre dans lequel se déroule le processus ne lui est pas indifférent…

La parade de notre mathématicien serait somme toute assez facile: il suffit d'introduire une étape "achat" supplémentaire, en spécifiant que l'achat doit suivre l'étape 1/ et précéder l'étape 2/...

Mais, bon, la simplification du mathématicien est claire, et acceptable, dans la mesure où elle découle d’une nécessité d’écriture. En effet, sans la fonction identité, nous ne pourrions pas avancer si les objets que nous manipulons changeaient au fil du discours.

Vous l’aurez compris : un discours (par définition synchronique) ne peut qu’écraser la dimension diachronique entre les différents niveaux synchroniques avec lesquels il articule des connexions.

Assez curieusement, cet écrasement rappelle l’état inconscient, lorsque la structuration hiérarchisée de nos connaissances s’effondre sur elle-même (voir l'article "conscient / inconscient").

Mais cet écrasement diachronique, qui n’est pas propre au langage mathématique, se double d’une autre manipulation implicite qui lui est propre.

Lorsque j’écris, par exemple : A =f=> B =g=> C, l’objet B passe de codomaine par rapport à A dans la première application f, à celle de domaine dans la seconde g, par rapport à C.

Bien entendu, le mathématicien le sait parfaitement, mais ce n’est pas explicite dans son écriture si l’on se limite à la lecture de la proposition elle-même.

En réalité, le discours mathématique se scinde en deux instances distinctes et temporellement ordonnées :

• Une exposition exhaustive des éléments de discours utilisés : où l’on « drague » ces éléments, de notre Imaginaire, dans les niveaux inférieurs avec la nécessité d’affirmer leur invariance dans l’opération, d’où l’importance de la fonction identité ;
• Une proposition qui articule entre eux les éléments précédents : nous sommes à proprement parler dans une logique purement synchronique. À tel point d’ailleurs que le langage mathématique est d’abord tracé au tableau noir, donné à plat, sur une surface, pour être pensé, avant d’être énoncé et transmis oralement, au fil du discours. D’ailleurs le discours mathématique se réduit in fine à cette tautologie visuelle : 0 = 0, c’est-à-dire l’affirmation d’une symétrie entre les deux éléments d’un discours, une négation de toute évolution entre les deux termes. Autrement dit une négation du temps mis pour passer de gauche à droite du signe égalité.

Cela paraît idiot à dire, mais j’ai mis du temps à m’en apercevoir : c’est tellement évident !

Regardez par exemple l’exposition des auteurs dans leur introduction à la théorie des catégories. Ils commencent par définir les objets, les fonctions, les cartes etc. D’instinct ils suivent le schéma général du discours mathématique, mais la démarche elle-même, la nécessité de le faire n’est pas axiomatisée dans la théorie elle-même. Parce que les mathématiques ne proposent pas de théorie élémentaire du temps, qui s’instaure pourtant, de fait, dans cette scansion élémentaire.

Il y a un instant d’exposition, coupé de l’instant de la proposition.

Dans l’exposition sont regroupées toutes les opérations « diachroniques » d’identification des objets utilisés

La proposition est purement « synchronique ».

Le plus drôle, sans doute est que ce regroupement des opérations diachroniques, associées à l’opération synchronique (ex post) permet de retrouver un mouvement qui est proprement la création mathématique d’un lien entre éléments disparates. Autrement dit : la création d’un nœud dans la hiérarchisation de notre Imaginaire (toujours cet arbre de connaissance de Lévi-Strauss).

3/ Les lois d’identité

Les commentaires suivants vont nous servir à mettre en évidence (une sorte de preuve par neuf) la nécessité vue précédemment d’articuler le discours mathématique en deux temps distincts :

• une exposition (ex-position, comme ex-ister : faire advenir dans l’ordre du discours tenu, de l’ordre de l’action diachronique) ;
• suivie d’une proposition (pro-position : ce qui vient après). Là comme partout, la langue détermine notre façon de penser !

Lorsque l’on discrimine les deux objets élémentaires d’une catégorie donnée, en définissant d‘un côté le domaine (objet A) et de l’autre le codomaine (objet B), puis une règle qui associe chacun des éléments du domaine, à l’un ou l’autre des éléments du codomaine, alors, on a beau faire abstraction de toute théorisation concernant le « temps propre » à ladite opération, cette mise entre parenthèses vous revient à la figure d’une façon ou de l’autre.

Considérons les deux expressions : A = 1A => A = f => B et A = f => B =1B => B

Lorsque j’écris 1A (A) = A ; il n’y a pas de problème : le premier objet, sur lequel s’applique la fonction identité 1A, est bien le domaine de l’application identité, et le résultat appartient au codomaine de l’application. Ensuite, l’exposition de A étant ainsi faite, je peux avancer dans le discours et exprimer la fonction f

Mais qu’est-ce à dire de ceci : 1B (B) = B dans la seconde expression? Il faudrait pour appliquer cette fonction identité que B en soit le domaine. Or, de prime abord, B a ici pour fonction première d’être le codomaine associé à A> …

Je vous entends d’ici me traiter de pinailleur, ou d’ergoteur, voire d’imbécile : il n’y a pas de problème concernantla fonction 1B, puisque par définition, tout élément b; de B est renvoyé à b, autrement dit chacun des éléments de B est impliqué dans la fonction 1B;, et par conséquent B est ipso facto le domaine de la fonction identité 1B.

Sans doute, mais cela me gène un peu d’écrire sans y réfléchir une expression de la forme : A =f=> B (rouge) =1B=> B.

Dans cette expression, le B en rouge est dans un premier temps le codomaine de A pour la fonction f, et ensuite le domaine dans la fonction identité 1B.

Mais le changement de statut, qui pourtant a bien lieu, d’une part n’est pas repéré et plus fondamentalement, la fonction 1B qui est en soit, comme nous l’avons vu, une déclaration d’existence de B au niveau IAB, est postérieure à son emploi. Comme si au bridge, on jouait avant d’avoir fait les annonces !

Autrement dit :

• L’évolution domaine = > codomaine = > domaine me semble assez naturelle ;
• Par contre l’évolution codomaine = > domaine = > codomaine demande d’y réfléchir.

Pour s’en sortir, il convient d'introduire l’objet B antérieurement à la proposition A =f=> B =1B=> B.

J’y vois personnellement la nécessité d’introduire formellement la scansion vue précédemment entre l’exposition liminaire des éléments de discours, suivie de la proposition elle-même.

Ce qui introduit, ipso facto une suite ordonnée des opérations, et donc un positionnement temporel : lorsque l'exposition (i.e.: l'émergence des dessous de l'Imagination) précède la proposition (i.e.: le préfixe "pro" indique une avancée, par rapport à ce qui précède CQFD).

Repérage temporel minimal qui permet d'ailleurs au discours mathématique de se distinguer du discours inconscient qui, lui, ne respecte plus cette scansion élémentaire.

Bonne rumination

Hari