Axiome de choix et création

J'ai peu de souvenirs d'une telle vacuité, si peu, en fait qu'ils restent vivaces. Un voyage pour rien à Téhéran, passé à l'hôtel Laley au centre-ville à jouer au Tetrix, à cause d'un rendez-vous manqué pour je ne sais quelle raison. Un autre week-end entier à arpenter ma chambre, au début du dernier chantier CIPREL à Abidjan (j'avais poussé l'expérience à son paroxysme) et quelques autres temps morts de la même eau. Aujourd'hui s'inscrit donc dans ce hit-parade... Une journée de chat, à ne rien faire.

À l'exception d'une note rajoutée en bas de page du chapitre II de mon bouquin en déshérence.

En fait, j'avais repris cette semaine ma lecture de "Conceptual Mathematics" de F. William Lawvere, et ‎Stephen H. Schanuel (et je m'aperçois en écrivant ce texte qu'il n'est plus accessible sur le net, dommage). Cette relecture me permet de constater que j'ai progressé: ouf, c'est dire que mes petites cellules grises ont encore quelque plasticité. En parallèle je relis les articles de ce blog sur le sujet (j'ai dû reformater l'article #4 qui était devenu illisible) et toujours mon chapitre III. La question étant de savoir comment aborder les débuts de la physique avant d'enclencher sur les maths. Enfin bref je rumine tranquillement lorsque me vient l'envie d'approfondir une remarque faite au passage à propos de l'idempotence... Il y est question de l'axiome de choix.

Certaines questions, comme celle-ci, vous embarquent dans les dédales du web. Pour m'éviter de vous raconter l'histoire, je vous renvoie à votre navigateur préféré. Vous y retrouverez même Alain Badiou en dire quelques mots. Bref, je flottais un peu, devant tant de savoir ignoré, jusqu'à ce que je tombe sur cette boutade de Bertrand Russel:

« Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine7. »

J'avoue que l'image m'a surpris sur le moment, et inquiété aussi: n'avais-je pas dans ma démarche laissé quelque chose d'essentiel de côté ?

Et ce matin, donc, en me levant (oui, j'ai finalement réussi cette manoeuvre délicate) je me suis précipité sur mon Mac pour cette note à ajouter au paragraphe concernant la forme canonique des mythes; là où je parle de la double inversion du concept qu'il faut déconstruire pour avancer (dans le mythe de la potière jalouse c'est engoulevent^-1):

"Bien entendu, dans l’instant de cette création d’un concept complémentaire, marqué ici du symbole « -1 » en exposant, je laisse en suspend la question de savoir si l’ensemble ainsi constitué (concept, concept^-1) est comparable à une paire de chaussettes ou une paire de chaussures. Dans le premier cas, la différence entre les deux concepts se marque par leur appartenance commune au groupe que je constitue à cet effet (à un niveau symbolique I_x+1), dans le second la différence se repère dans la chose elle-même (au niveau I_x, vu sous le critère défini en I_x+1). C’est dire que nous nous invitons ici dans une discussion concernant l’axiome de choix sur laquelle nous reviendrons au chapitre IV, avec la théorie des catégories."

S'il est trop tôt dans le chapitre II pour développer, car cela pourrait distraire le lecteur de son objet, j'ai tout loisir d'y revenir ici, dans ce bloc-notes à mon usage pratiquement privé.

Lorsque je constate que la chaussure droite se distingue "de soi-même" de la gauche dans une "paire de chaussures", je suis dans la position rationnelle Ix < Ix+1 < Im;
Lorsque je choisis une chaussette dans une paire, l'appartenance de cet objet singulier à une paire est une connaissance de niveau Ix+1, c'est évident. Donc je réduis l'épaisseur de mon discours ainsi: Ix+1 < Im;

Mais, ce faisant, je manque du recul nécessaire pour porter un "jugement rationnel" sur l'appartenance ou pas de cet objet à une "paire".

Et c'est là que s'introduit la nécessité de faire appel à quelque "axiome de choix", qui ne peut s'exprimer qu'à un niveau Ix+2 du discours... Avec, donc Ix+1 < Ix+2 < Im.

En résumé, chacun de mes deux discours est bel et bien "rationnel", sauf qu'ils ne se situent pas au même niveau diachronique. Et l'incertitude des matheux quand à sa nécessité, tient à sa relativité par rapport au Sujet.

Je ne sais pas si ceci aidera les matheux à mieux dormir, mais cette incursion dans leur univers m'a ouvert les yeux sur une subtilité dont je n'avais pas pris conscience. Je ne regarderais plus mes chaussettes du même oeil.

Bonne rumination.

Hari