"Enthropologie" des "catégories" # 6 - Le mythe fondateur ?

Publié le par Hari Seldon

Je n'arrive pas à me satisfaire du précédent billet (cf.: "Enthropologie" des "catégories" # 5 ). Pourtant, je pense avoir cerné correctement la problématique: montrer, dans ce langage très particulier que sont les mathématiques, comment nous transformons instinctivement une succession purement "temporelle" ou diachronique en une représentation "spatiale", ou synchronique. Mais c'est l'idée de me référer à la forme canonique des mythes pour résoudre la difficulté qui m'a perturbé. Idée survenue de cette transformation de "l'élément a" en "fonction a" que j'ai du mal à avaler, pour tout dire. Et cette transformation, la disparition de l'élément pour qu'apparaisse la fonction, cet avènement d'un concept par la disparition d'un autre m'a fait irrésistiblement penser à la forme canonique des mythes. Mais, en arriver à évoquer l'hypothèse d'un mythe à ce propos, c'est avouer que j'aurais atteint le seuil de ma propre rationalité, car un tel recours remet ipso facto en cause ma position rationnelle (ex-post), pour basculer en position ex-ante.

Très clairement: lorsque apparaît une contradiction dans le langage (ici l'irréductibilité du diachronique au synchronique) alors, il faut construire un mythe fondateur pour, d'un point de vue qui dépasse le conteur, trouver la voie qui résoudra le dilemme. Par exemple, pour les Jivaro, la femme est d'une part criarde et facteur de désunion, mais, d'autre part, potière, c'est-à-dire qu'elle fait preuve d'organisation, de précision et de coopération afin d'obtenir des poteries harmonieuses. Cette contradiction dans les représentations, à un niveau Imaginaire Im donné, celui du conteur, nécessite une action symbolique, un récit mythique, pour imaginer, à partir de cette position Im, une explication de l'ordre du Symbolique en S, avec Im<S.

  • ·      Ce mythe, nous explique Lévi-Strauss, suit la forme canonique qu'il a décrite;
  • ·      Mais, dans ce mythe, lorsqu'il l'évoque sans le déchiffrer, le sujet est par définition en position ex-ante par rapport au Symbolique qui le porte, c'est ce que je développe dans l'Homme Quantique. (Nota: repris dans le billet "Le mythe de la potière jalouse").

Ramené au problème présent, ceci voudrait dire que le langage mathématique serait d'un niveau Imaginaire supérieur à celui où je me situe pour le commenter. Il permettrait de résoudre une contradiction (synchronie / diachronie ou espace / temps, si vous préférez) qui m'apparaît à moi, en Im, comme irréductible, pire: constitutive de ma possibilité de m'exprimer, et donc, en dernier ressort, de ma façon d'être. Je n'arriverais pas à comprendre ce qui est évident pour le mathématicien et je devrais reconnaître mon échec à "rationaliser" sa propre démarche en exprimant, sous forme de mythe, qu'il puisse exister un principe unifiant espace et temps, qui m'échapperait tout en étant évident à ses yeux.

Mais sommes-nous bien dans une telle configuration? Le langage mathématique transcende-t-il effectivement la différence espace/temps ? Attention encore une fois à ne pas faire d'amalgame avec la question du physicien, qui utilise un langage déjà constitué (nous en avons discuté dans le billet précédent)! Nous restons ici au niveau de l'articulation du langage lui-même, et notre questionnement porte sur l'inconscient du mathématicien, sur ses non-dits dont nous cherchons à débusquer les traces anthropologiques, forcément anthropologiques, dans le discours lui-même...

Vous comprendrez donc la nécessité que je ressens de devoir nettoyer mon esprit de toutes les pensées parasites qui me trottent dans la tête, avant d'en arriver à ce recours mythique.

Il y a en particulier l'idée suivante qui nous ramène à mes précédentes considérations sur les "brisures de symétrie" (cf.: géométrie et symétries). Dans mon précédent tableau :

&quot;Enthropologie&quot; des &quot;catégories&quot; # 6 - Le mythe fondateur ?

La différence entre la fonction identité et l'utilisation d'une fonction liant le domaine singleton "1" au codomaine A, se traduit par une inversion gauche / droite dans la façon d'écrire.

Je m'explique: si j'applique la fonction identité à mon singleton «a» lui-même, et si je représente le saut diachronique portant de IA à IAB , que l'on pourrait traduire par "il existe" et qui se représente, dans la théorie des catégories par notre fonction identité, j'écris ceci 1a (a) = a

  • avec 1a : équivalent à 1 fois ou 1X. (Remarque : le «one time» anglais fait très justement le lien entre ce « une fois » et la notion de temps)
  • le premier a, dans le membre de gauche comme objet manipulé par la fonction étant le domaine,
  • le second a, le résultat de la manipulation, à droite, étant le codomaine

C'est-à-dire, avec notre écriture conventionnelle de gauche à droite: 1 X a = a

Selon cette convention, je commence mes phrases en déterminant l'action, ensuite l'objet sur laquelle elle s'applique et en dernier, le résultat de l'action.

Soit, maintenant gardons cette convention pour transcrire notre application du singleton "1" sur un codomaine A. Ici, c'est l'action elle-même qui est réifiée, tandis que l'élément a est la fonction (la chair s'est fait verbe, ceci vous rappellera sans doute quelques souvenirs). En commençant par l'action de a sur 1, nous écrivons donc: a X 1 = a

Vous voyez maintenant où je voulais en venir: au niveau de la théorie des catégories, lorsque je nie toute transformation, lorsque le temps n'existe pas, il y a une symétrie entre gauche et droite,

  • Nous avons transposé notre problème: l'invariance diachronique (qui se traduit en mathématique par la fonction identité) conduit à une symétrie: (droite=>gauche) = (gauche=>droite).
  • Et, du coup, cette transcription spatiale (horizontale) de mon axe diachronique (vertical), me permet de repérer un défilement du temps, en discriminant entre droite et gauche, par une brisure de symétrie.

Mais il s'agit ici d'un temps purement "synchronique", une simple représentation figée, sans évolution. La chose commence maintenant à m'apparaître plus clairement : nous sommes là dans "l'automaton" de Lacan. Ceci demandera sans doute d'y revenir plus longuement.

Lorsque, par exemple, je fais une série d'actions pour faire la vaisselle (voir page 32 et suivantes de conceptual mathematics) je peux dire "je fais la vaisselle"; mais je peux décrire cette action globale par une séquence : laver, rincer, sécher, ranger la vaisselle. Et, c'est sur ce point qu'insistent les auteurs, la composition des actions n'est pas permutable: je ne vais pas ranger les assiettes avant de les avoir rincées, ou séchées. Nous concevons donc que la façon d'écrire cette suite de fonctions ne soit pas indifférente. Nous avons:

faire (vaisselle) = ranger (sécher (rincer (laver (vaisselle)))

Il y a donc un séquençage, et par suite un repérage possible du temps. Je peux même faire un automate répondant à cette séquence d'actions. Mais, et c'est là où le "temps synchronique" diffère du "temps diachronique", une fois que l'automate a terminé sa séquence, il revient au point de départ. C'est la même chose dans tout langage informatique: à la fin d'une série d'instructions, j'ai toujours un retour à zéro, une réinitialisation. L'ordinateur avec lequel je travaille n'échappe pas à la règle, et le vôtre non plus. Même une séquence telle que celle définissant "faire la vaisselle": imaginez-la imprimée sur la page d'un livre. Elle disparaît lorsque vous tournez la page, mais revient identique à elle-même si vous revenez à la page indiquée.

Rien de tel dans une montée diachronique: une fois fait un saut de IA => IAB, vous avez fait exister l'objet a soit comme domaine ou codomaine, ou fonction, mais vous l'avez bel et bien créé. De même qu'en s'écriant eurêka, Archimède a créé une fois pour toute dans l'Imaginaire de l'Humanité, la loi qui porte son nom. De même en physique: le mouvement de l'eau fait que la rivière n'est jamais pareille à elle-même.

Le langage mathématique offre donc la possibilité de repérer un temps, mais que l'on ne s'y trompe pas, il s'agit d'un temps cyclique, sans "évolution", celui de l'automatisme de répétition.

Ce "temps synchronique" (formule qui est en soit un oximore) permet, comme nous l'avons vu, de repérer des séquences d'actions.

Il permet aussi de définir les isomorphismes. Réfléchissez-y (c'est le cas de le dire!) deux objets A et B sont isomorphes (voir page 40 de conceptual mathematics) si et seulement si:

&quot;Enthropologie&quot; des &quot;catégories&quot; # 6 - Le mythe fondateur ?

Vous voyez comme la problématique se déplace:

  • L'identité est un problème "existentiel", diachronique. La question se pose en premier, sous forme axiomatique, elle mêle fonctions et objets, et traite la façon de les ramener à un seul et même niveau (i.e.: IAB). L'identité nie toute "évolution diachronique";
  • L'isomorphisme est une définition purement synchronique, portant sur des objets de même nature. Et la condition d'isomorphisme, portant sur l'action qui me fait passer de l'un à l'autre, se ramène à une symétrie gauche/droite : g.f = 1A & f.g = 1B. L'isomorphisme nie toute "évolution synchronique".

En conclusion, je peux donc me rassurer: si le langage mathématique ignore la distinction synchronique/diachronique ce n'est pas grâce à un quelconque concept transcendant, qui m'échapperait à tout jamais, mais par une simple transposition des concepts. Il y a certainement possibilité d'exprimer cette évolution en utilisant la forme canonique des mythes, avec quelque chose du genre: l'effacement de la différence entre verbes et nom communs, conduit à une représentation spatiale du temps, (au niveau IAB). Mais il y a des glissements de sens concernant la définition du temps, auquel nous devrons rester attentifs, pour ne pas nous perdre dans les développements à venir (1).

En me réveillant ce matin, me sont venues ces bouts d'idées, que je vous livre à chaud, avant d'aller prendre mon café:

La première est celle-ci: un auteur ancien voulut abolir le temps, et il écrivit l'épopée de Gilgamesh. Et en un sens, son héros a rempli ses espoirs, puisque son image nous est parvenu à travers le temps.

La seconde est celle-là: les Chinois, qui ignorent la distinction linguistique que nous faisons entre noms et verbes, doivent avoir une représentation différente du temps. Et sans doute plus de facilité pour appréhender certains concepts mathématiques que les Occidentaux. À preuve, sans doute, le fait qu'ils aient trouver le calcul des déterminants longtemps avant Leibniz. Ceci vaut pour les Japonais également.

Ceci dit, le café frais m'appelle.

Bonne rumination en attendant la suite...

Hari.

PS du 25/08/2016:

Pendant que je suis dans le décollage de vieilles tapisseries à Saintes, m'est venue cette idée concernant la différence entre la fonction identité et l'isomorphisme: il a entre les deux la même différence que l'on retrouve entre métaphore et métonymie. Lorsque notre chasseur-cueilleur, (voir article #5) fait une entaille sur un manche de couteau pour symboliser qu'il a tué un lapin, ce signe est une métaphore de son acte. Maintenant, s'il avait utilisé une pointe pour laisser une trace sur un bambou au lieu de cet os, peut-être eut-il laissé des traces rondes et non des traits; ou bien, utilisant un calame pour marquer une tablette d'argile eut-il laissé des traces cunéiformes? Son acte, dans son essence, à savoir sa volonté de comptabiliser sa chasse n'en eût pas été modifié, quoique les traces, laissées eussent été différentes (soit des traits, des ronds, ou des pointes). Donc:

  • L'identification de la trace, l'acte, est du domaine de la métaphore,
  • Le résultat de cette identification laisse des produits similaires, ou isomorphes (collection de traits, ronds ou pointes)

J'avais déjà abordé ce sujet qui a une certaine importance chez Lacan (voir le billet "métonymie et métaphore"). Et si nous quittons Lacan pour Deleuze, on peut ajouter que dans ce que la volonté de notre chasseur-cueilleur a d'indéterminé, pour un contemporain de la scène, dans l'instant de son émergence, on peut dire que cette création est une actualisation de quelque chose d'indéterminable a priori, de l'ordre du virtuel; tandis qu'une fois figé, écrit, les avatars de ce récit sont limitées à ses potentialités (par exemple dans notre exemple, le nombre de traces est identique sous nos trois formes d'écritures, et nous retombons sur nos isomorphismes.)

PS du 18/09/2016

Je note ici, pour ne pas l'oublier, cette pensée au réveil. Je me suis endormi hier, en regardant quelques textes concernant les 4 modes du discours de Lacan. En effet, je pense remonter sur Paris pour le 2/10, afin de rencontrer quelques psy de Dimpsy à l'institut théologique protestant et je pensais que c'était un bon exercice pour moi de revisiter la structure (le mathème) soutenant les 4 discours. Bien entendu cette structure est bancale, puisque l'on ne situe pas celui qui parle dans le schéma lui-même, et qu'elle représente un "mouvement" sans théorie ni représentation du temps etc... Et, me dis-je au réveil, en fait d'utilité sociale, même les Américains avec leur analyse transactionnelle sont plus clairs que Lacan. Je dis ceci au risque de choquer la bien-pensance lacanienne, mais bon ce n'est pas le sujet.

Et, c'est là le point que je ne veux pas perdre: d'Américain, et d'AT, je saute à la PNL, car les deux sont marqués par leur origine commune dans mon esprit, avec en arrière plan cette recherche d'un sujet d'étude à traiter avec Yannick. Trouver un "observable" par imagerie médicale, qui puisse conforter mon approche. Et parmi les idées, celle-ci qui me trotte dans la tête: le temps est une construction binaire (nécessitant deux plans Ik et Ik+1) tout comme notre vue binoculaire (avec un oeil directeur et l'autre qui suit). La vision binoculaire est, comme notre perception du temps "différentielle". Et ce rapprochement temps / vision m'évoque la PNL. Et oui : selon que je me projette dans l'avenir ou le passé, je tourne les yeux d'une façon ou d'une autre (il faudrait que je retrouve. A priori, la gauche c'est le passé, la remémoration et la droite la projection, l'imagination). Et il y a bien là un rapport qui s'établit entre vision et temporalité..... Peut-être une piste à creuser ? On va bien arriver un jour ou l'autre à caractériser ce passage d'une conscience diachronique du temps à sa représentation synchronique, telle que nous le racontent les mathématiciens !

(1) Nota du 16/01/2017:

Dans cet ordre d'idée, le mathématicien introduit en logique, une différence droite / gauche par le signe ┤ (voir par exemple l'introduction à la logique catégorique d'Alain Poutré.)

 

Commenter cet article