Représentation des 4 modes Imaginaires  ♧♢♡♤ 

- Cette image m'obsède depuis que je l'ai utilisée (voir ici dans "Mesurer") pour représenter les 3 modes Imaginaires ♧♢♡, en fait, il s'agirait de la déformer un peu pour qu'elle présente 5 facettes, chacune étant un "niveau" [∃], [⚤], [#], [♲], [∅], ce qui donnerait quelque chose comme ça : 

- Sauf que c'est une image impossible !

- Oui, parce qu'il y a une section carrée, quand la mienne est triangulaire. D'ailleurs, pour me convaincre que l'objet est possible, je me suis battu toute la journée d'hier avec des bouts de cartons, de ficelles et un rouleau de scotch afin d'en faire une esquisse. Le résultat est horrible à voir, mais probant !

À partir de là j'ai, comme de bien entendu, navigué sur le Net à la recherche d'une meilleure façon de m'y prendre. J'avais dans l'idée de réaliser un origami. Il y a du boulot pour passer de mon essai à quelque chose de présentable, mais j'ai bon espoir d'y arriver. (Note 2)

- Bon, soit, mais tu nous parlais de représenter les 4 modes ♧ ♢ ♡ ♤ ?

- Ah ! C'est là que ça devient intéressant. Dans ma recherche, je retrouve "par hasard" une vidéo oubliée d'Étienne Ghys montrant comment faire une bouteille de Klein selon deux manières, et cette seconde bouteille a fait tilt dans ma tête, dès que je l'ai vue.

- Tilt ?

- Oui, il faut que je t'explique : juste avant cette vidéo, j'étais tombé, toujours "par hasard" sur une petite vidéo très simple mais fort bien faite expliquant comment l'on peut voir une sphère S3 "émerger" dans notre espace 3D, et corrélativement, comment une brisure de symétrie comme  le reflet "en miroir" d'un objet (i.e. l'impossibilité de passer de l'objet à son image par un simple déplacement continu) peut se résoudre en plongeant la représentation de la scène dans un espace de dimension supérieure.

- Mais ça, nous le savions déjà : un noeud représenté en 2D présentera une "coupure" de la corde, qui n'existe pas réellement en 3D.

- Oui, bien sûr, mais si le comprendre intellectuellement est une chose, le ressentir comme une évidence concernant tous nos types de représentations en est une autre.

- Et en l'occurrence de quoi s'agit-il ?

- Si nous pouvons représenter nos 3 modes Imaginaires par cette sorte de pentagramme de Penrose à base triangulaire (il faudrait lui trouver un nom), cette figure a l'inconvénient de présenter une dualité intérieur/ extérieur de chaque côté de la surface, qui n'a pas de signification Imaginaire.

- Tu peux y voir la dualité Réel — ☯/ ☯ — Symbolique, qui "encadre" notre Imaginaire, non ?

- Peut-être ou mieux celle-ci : Imaginaire du Sujet — 𓁝𓁜 / ☯ — Hors Sujet, mais au final, il faudrait que cette dualité elle-même se dissolve car cette coupure n'est qu'un produit de notre Imaginaire, elle doit donc s'effacer comme toute dualité, lorsque l'on passe d'un mode Imaginaire au suivant, de même que la coupure du noeud disparaît en passant de 2D à 3D. Or, cette bouteille de Klein fait admirablement l'affaire, pour représenter nos 4 modes (en miroir ♧♢/♤♡, autour du concept de topos — la ligne verte, à développer), avec précisément la disparition de cette dualité dernière  𓁝𓁜 / ☯ !

- Si j'ai bien suivi ton histoire : en cherchant une représentation de tes 3 modes ♧ ♢ ♡, tu t'aperçois que le pentagramme de Penrose à section carré est un "objet impossible" et par chance, avec cette bouteille de Klein comme représentation des 4 modes ♧ ♢ ♡ ♤, tu as du même coup une explication à la nécessité d'un 4^e mode ♤, à savoir évacuer la dernière brisure de symétrie  𓁝𓁜 / ☯, que tu intériorises dans l'Imaginaire avec cette dualité en miroir ♧♢/♤♡ ?

- Oui, cette prise de conscience me met un peu en avance sur mon programme, car j'en suis toujours aux balbutiements de la théorie des catégories, avec la lecture de Saunders Mac Lane.

Mais suivons notre lapin dans son terrier : guidé par ma représentation de l'Imaginaire, j'avais déjà estimé au pifomètre, que le mode ♤ devait correspondre à ce qu'Olivia Caramello appelle les "ponts" entre théories (voir ici dans "Identité et équivalence de Morita"), et ce dernier bouclage en mode ♤  m'induit à penser que c'est l'ultime mode...

- Tu procèdes un peu comme en topologie pour représenter un "objet" par ses groupes d'homologie (Note 1) : en passant des points, aux arcs entre points, puis aux surfaces, et volumes etc... Tu arrives ici au moment où l'on s'arrête de décrire l'objet, c'est cela ?

- Oui : ce que nous appelons notre "Imaginaire" se limiterait donc à 5 niveaux [∃][⚤][#][♲][∅] sur 4 modes ♧ ♢ ♡ ♤, représentables par la surface d'une bouteille de Klein, dans un espace à 4D.

- Où l'Homme s'effacerait ainsi "comme à la limite de la mer un visage de sable"...

(b) - N'es-tu pas content de te retrouver entre "Le Moi-Peau" d'André Anzieu, et Foucault ? Toute cette mise en perspective nous conduirait donc à 4 représentations de l'Imaginaire, en fonction de la posture prise par l'auteur 𓂀 pour en parler :

Un récit linéaire 1D (représenté par un ruban en 2D)	[∃][⚤][#][♲][∅]	𓂀♧
Une bande de Moébius 2D (plongée dans un espace 3D)		𓂀♢
Un "tore tordu" en 3D (en attente d'un nom propre)		𓂀♡
Une bouteille de Klein en 3D (plongée dans un espace 4D)		𓂀♤

(Nota du 29/ 12/ 2023: voir une vidéo des mouvement d'un Sujet dans un Imaginaire sur 3 modes ici : "Comment faire tourner Suzanne dans sa cage".)

Ceci dit, et c'est le second effet "Kiss Cool", en me limitant cette fois-ci à la physique telle qu'exprimable sur 3 modes par 𓂀^♡; nous pouvons préciser un peu les sutures [∅]/[∃] dans les passages de modes vus comme des changements de "dimension" Imaginaires. (Voir "Le discours du Physicien")

• En mode ♧ :
  • La dualité remarquable concerne l'espace/ temps;
  • La quantité conservée (ou volume) est la mesure d'une vitesse (liant temps/espace)
• En mode ♢ :
  • Ce qui "émerge" du mouvement, c'est la "masse" m du point (*);
  • La dualité remarquable concerne l'énergie potentielle/ cinétique;
  • La quantité conservée est une énergie globale (liant énergie potentielle & cinétique);
• En mode ♡ :
  • Ce qui "émerge" de l'énergie c'est l'orthogonalité espace⊥temps (marquée par i);
  • La dualité remarquable concerne : l'observable (mode ♢)/ la mesure (mode ♧);
  • La quantité conservée s'exprime en termes de fréquence ν (inverse d'un temps).

J'espère que tu vois comme moi ce retour final à une expression du temps tout à fait élémentaire, tel qu'il se dégage en [⚤]^♧ du comptage des sauts diachroniques ☯[∃]↑[⚤] comme autant de coups de boutoir du Réel à la porte de l'Imaginaire. En ce sens le ν final nous raccroche au Réel : une mesure est par essence celle d'une fréquence, une musique.

- En t'écoutant, je pense que cette représentation de l'Imaginaire devrait être appréhendée comme un espace topologique.

- Comment cela ?

- Et oui, finalement, ton espèce de pentagramme à base triangulaire est un tore, et les deux façons de s'y déplacer rappellent le groupe fondamental de Poincaré :

• Ton auteur 𓂀 est tout simplement situé au point p;
• Le lien b est celui qui repère les niveaux [∃]/[⚤]/[#]/[♲]/[∅];
• Le lien a repère les modes ♧ ♢ ♡.

Maintenant, lorsque tu cherches le "fil qui fait la "continuité" entre modes, c'est tout simplement le fil qui s'enroule sur ce tore (en se bouclant sur lui-même). Et tu retrouves ainsi le discours d'Alain Connes, tenu lors du colloque "Lacan - Grothendieck - l'impossible rencontre", que tu avais abondamment commenté à l'époque (voir l'article "#5 - Temps et instant") :

13/ 04/ 2023

- Attends une seconde ! Tu en arrives à l'idée que tes schémas de l'Imaginaire sont des surfaces topologiques, et en particulier, à propos du tore, tu parles du groupe principal de Poincaré (p; a; b). C'est facile à comprendre : les deux liens a et b peuvent être comme les deux axes niveaux / modes de notre tableau, vus par l'auteur 𓂀 situé en p :

Le lendemain, en relisant ton texte, tu ajoutes la note 2, concernant le recouvrement du même tore, en te souvenant de ce schéma présenté par Alain Connes dans un colloque.

Mais tu vois bien qu'alors, les différentes cases de ton tableau s'alignent comme ce fil d'Alain Connes, et les deux discours ne "collent pas" l'un avec l'autre, car ton "fil" est alors sécant avec les deux axes précédents. Comment vas-tu t'en sortir ?

(a) - Très simple mon ami : l'auteur 𓂀 change de façon de s'exprimer, cependant —et c'est là la limite de l'Imaginaire— il ne possède toujours que 5 cartes de base pour paver son Imaginaire. 

Pour mieux distinguer ce dont je parle, il faut revenir sur la distinction entre :

• Le mode Imaginaire auquel se situe l'auteur, ce que l'on peut convenir de distinguer par un exposant, ainsi que nous en avons l'habitude : 𓂀^♧ / 𓂀^♢ / 𓂀^♡ / 𓂀^♤;
• Le niveau de son langage :
  • En [⚤], la narration en mode discontinu, dans un déroulement temporel;
  • En [#], l'expression en mode continu, un graphe, une taxinomie, s'étalant sur un tableau;
  • En [♲], l'auteur lie les deux, dans une expression marquant des équivalences ou des conservations.     

C'est un point dont nous avons longuement parlé avant de nous focaliser sur la notion de "mode" de penser, et nous avions convenu de préciser ce niveau par ce qui caractérise le principe de répétition propre au niveau considéré en indice, ce qui donne : (voir Note 3)

• Expression de niveau [⚤] : _⇅𓂀 ;
• Expression de niveau [#] : ⊥𓂀 ;
• Expression de niveau [♲] : _⇆𓂀 .

Ce qui conduit à préciser la posture de l'auteur de cette façon :

- Tu retrouves le schéma précédent...

- Oui, bien sûr : l'idée que je me fais de l'auteur (moi-même en fait) doit être congruente à elle du Sujet. (Note 4)

En mode ♡, ça se retrouve dans cette représentation :

• De façon globale, ce tore représente l'imaginaire d'un Sujet 𓁝𓁜, et moi, l'auteur du discours, je suis dans le même mode : (...𓁝𓁜^♡...) 𓂀^♡;
  • Le recouvrement du tore est une "narration" : _⇅𓂀^♡;
  • Le groupe principal est une représentation topologique :  ⊥𓂀^♡;
  • Le tore est une vue "globale" de cet Imaginaire _⇆𓂀^♡; conciliant les deux précédents points de vue.

- Mais cette représentation est-elle adaptée à une description du dernier niveau ♤ ?

- Certainement insuffisante, et c'est pourquoi je dois approfondir ma connaissance du langage des catégories comme de l'utilisation des topos....

- Retourne vite à la lecture de Saunders Mac Lane !

Le 15/ 03/ 2023 :

- On ne va pas se mentir: j'ai du mal à lâcher cet article car ma représentation de l'Imaginaire comme surface topologique simplifie du coup beaucoup de choses, que j'aimerais "mettre à plat", avant de continuer.

- Sérieux ? Il est 5h du mat et à mon avis tu es plutôt en pleines vaps, sans doute un effet du jet-lag, après 24 heures de voyage porte à porte, avec un atterrissage en pleine grève des transports; et des Blablacars surbookés...

- Peu importent les circonstances, mais ce demi-sommeil est propice à la décantation des idées. J'ai commencé cet article sur le nom de "Penrose" et hier s'est imposé le mot de "pavage" de l'Imaginaire à l'aide de nos 5 niveaux [∃]/[⚤]/[#]/[♲]/[∅] (cf. a); il est donc évident, a posteriori que les "niveaux" en question sont une topologie de l'Imaginaire, et ce quel que soit le mode de penser considéré (dès que l'auteur est en mode ♢ soit 𓂀^♢, naturellement).

- Et donc ?

- Et bien si ces niveaux sont des "parties" d'un tout que j'appelle "Imaginaire du Sujet", les concepts particuliers qu'il est capable de formuler, ou de manipuler, sont des "éléments" de celui-ci.

- Ça me paraît évident...

- Oui, comme l'oeuf de Christophe Colomb. Ça fait toujours ça une fois que tu a pris pleinement conscience de ce que tu dis : c'est évident, et surtout, tu ne peux plus oublier cette nouvelle perspective !

- Rien de neuf : Lacan aussi parlait de topologie...

- La différence tient à ce que notre topologie a effectivement une interprétation mathématique.

Mieux : elle colle avec ce que les neurosciences nous apprennent du fonctionnement de notre cerveau. (Note 5) Au plus bas de l'organisation de l'Imaginaire, tu peux très bien assigner une "idée" ou la reconnaissance d'un concept à un ou quelques neurones dans le cerveau (des éléments), situés géographiquement dans le cortex dans des "zones" de celui-ci (définissant une topologie du cortex). Par exemple si tu penses au petit doigt de la main droite, il est possible de situer précisément les neurones associés à cette représentation dans une "zone" où sont regroupés tous les neurones associés à "la main" inclus dans la représentation du corps etc. En ce sens, notre caractérisation :

• Concepts particuliers <=> éléments <=> vus 𓁜;
• Niveaux Imaginaires <=> parties <=> vus 𓁝[α]𓁜.

fait sens et répond au désir de Freud, qui n'a développé sa technique psychanalytique par la parole que faute d'avoir pu, à l'époque, l'aborder d'un point de vue neurologique.

- Tu veux dire que ce tableau est en quelque sorte fractal, et s'applique aux représentations les plus simples, repérables par l'imagerie du cerveau, comme les plus hautes, par exemple nos représentations philosophiques ?

- Il me semble que, sans en avoir fait une démonstration au sens mathématique du terme, nous avons pu néanmoins aborder un vaste éventail de sujets sans prendre en défaut notre tableau...

Mais plutôt que parler de "fractal" comme je l'avais fait naïvement (Note 6), il me semble préférable de suivre un développement propre à la topologie.

Si nos tableaux de l'Imaginaire sont des "recouvrements", alors, on peut les voir en termes de "groupes quotients" de l'Imaginaire.

(α) Et pour terminer cet article en beauté, je te propose de compléter notre tableau b par une représentation topologique formelle de chaque mode de penser du Sujet. Ce sera, à ce stade de notre développement, un discours de mode ♢ (minimal): j'exprime en posture _⊥𓂀^♢(niveau topologique), l'idée que je me fais de l'Imaginaire du Sujet 𓁜. (les niveaux sont selon b et les modes selon a)

Niveaux/modes	Topologie	⊥𓂀♢
[∃][⚤][#][♲][∅]		♲𓁜♧
		♲𓁜♢
		♲𓁜♡
		♲𓁜♤

- Bon, cette fois-ci, je pense que tu as bien récuré le pot de confiture, et si tu revenais enfin à Saunders Mac Lane ? (Note 7)

- Amen...

Hari

Note 1 :

Voir :

• notes-3-the-geometry-of-surfaces-algebraic-topology-nj-wildberger.html

Note 2 :

Si par hasard quelque matheux se trouvait en ces lieux, il me traiterait sans doute (à raison, hélas) d'idiot ou tout au moins d'inculte : la représentation topologique de cette surface (un tore) est archi-simple, et mes 3 modes (représentés sur le schéma ci-dessous par 3 couleurs), sont faciles à coller sur celui-ci.

Ce qui nous donne ce schéma topologique où les flèches des côtés opposées se recollent l'une sur l'autre, (en respectant le sens des flèches)

Encore toutes mes confuses pour ce manque de pratique mathématique !

Note 3 :

Vor en particulier :

• https://www.entropologie.fr/2021/01/resume-hec.html

Note 4 :

La distinction Sujet—𓁝𓁜 / 𓂀—Auteur est une réponse au paradoxe de Russel concernant l'ensemble de tous les ensembles...

Note 5 :

Voir en particulier : 

• 2022/07/les-neurones-de-la-lecture-dehaene-1-comment-lisons-nous.
• 2022/07/les-neurones-de-la-lecture-dehaene-2-le-cerveau-au-pied-de-la-lettre.
• 2022/08/les-neurones-de-la-lecture-dehaene-3-les-neurones-de-la-lecture.
• 2022/08/les-neurones-de-la-lecture-dehaene-4-l-invention-de-la-lecture.
• 2022/11/stanislas-dehaene-la-bosse-des-maths.

Note 6 :

Voir ici :

• 2015/02/l-imaginaire-fractal.html

Note 7 :

Il faudrait traiter les passages d'une représentation à l'autre comme des brisures de symétrie, à partir de la notion de recouvrement, en remarquant que toute variété connexe non orientable possède un recouvrement à deux feuillets orientables (voir recouvrement sur Wikipédia).

Explicitement : 

• Un ruban de Moébius est recouvert par deux surface cylindriques
• Une bouteille de Klein est recouverte par le tore.

- Il n'y a pas de passage du tore au ruban de Moebius...

- Non, mais tu passes directement de la bouteille de Klein à l'union de 2 rubans de Moebius, c'est un autre type de symétrie...

- Mouais... Reste le tore.

- Alain Connes nous a parlé de son recouvrement : voir "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan #5".

(α)