etc.

Le 14/11/2020 :

Voir "Le point # 7 - Retour à Évariste Galois", qui reprend cette problématique, dans une perspective plus adaptée !

Je me suis planté dans mon dernier billet "nombres cardinaux et ordinaux".

Soit je le jette à la poubelle, soit j'essaie de comprendre pourquoi. Étant trop bricoleur pour jeter un bout de ficelle qui peut resservir, autant en profiter pour avancer malgré tout.

Précisons tout d'abord de quoi il s'agit: j'ai vu la possibilité d'indexer chacun des niveaux Imaginaires entre I01 et I0 en utilisant les nombres cardinaux, tels que Cantor les introduit, avec cette idée sous-jacente que cet indice refléterait quelque chose du contenu du niveau lui-même, et j'ai écrit ceci :

Le niveau I01 (l'ensemble N) est de rang ℵ⁰
Le niveau IR (la droite) est de rang ℵ¹
Le niveau IR² (la surface) est de rang ℵ²

Les deux premiers points ont du sens, mais le dernier n'est qu'une simple récurrence du précédent, avec un "etc." sous-entendu, et j'en tire des conclusions tout à fait farfelues comme l'idée d'une infinité de niveaux Imaginaires entre I01 et I0 !

J'y vois une résurgence de mon éducation, qui m'a abreuvé de développements en séries de Fourier, Taylor et autres pendant ma formation d'ingénieur. Autrement dit, je singe le mathématicien, pour décrire un mécanisme Imaginaire généré par un cerveau humain !

Mais le cerveau ne fonctionne pas ainsi! Tous les animaux quelque peu évolués savent peu ou prou compter jusqu'à 2 ou 3 (je laisse pour l'instant les références), mais l'homme développe ensuite des procédures pour aller au-delà, et c'est lié au langage.

Retenons ceci: le cerveau assigne une synapse particulière à quelques chiffres, puis développe une technique de manipulation de ces éléments pour ne pas mobiliser sa matière grise à engranger ce qui peut être retrouvé en utilisant une procédure (apprise). Et nous pouvons en avoir confirmation par l'expérience. Par exemple: un individu peut immédiatement identifier 1 à 3, voire 5 objets présentés. Ensuite, la réponse va prendre un peu de temps : pour compter 7, on additionne 5 doigts d'une main et 2 de l'autre, et pour faire une addition à deux chiffres, le temps sera encore plus long.

Il en est de même pour prendre conscience de l'espace. Certes, notre reconstitution en 3D de notre vision binoculaire est pratiquement instantanée, mais le temps de traitement du signal est malgré tout observable. Il suffit, par exemple de demander à un sujet de fermer les yeux et de s'imaginer se promener dans un lieu connu. Le temps pour passer de la cave au grenier sera plus long qu'une simple rotation pour balayer "du regard" la salle à manger.

Le cerveau s'économise donc, en fixant un corpus sémantique (autrement dit des éléments synchroniques de l'Imaginaire, en Ik) pour les "arranger" en respectant une certaine syntaxe (et donc au niveau Ik+1). La mise en oeuvre de la procédure, tenant précisément dans le "saut diachronique" effectué entre Ik et Ik+1.

Bien, je ne dis là rien de nouveau et je me répète, mais j'en ai besoin pour vérifier que je retombe bien sur mes pieds.

Il ressort de tout ceci que le cerveau ne sait manipuler que des collections finies d'objets, et encore, en petit nombre (surtout chez moi), selon des procédures elles-mêmes en nombre limité ! Et donc, l'idée d'une suite infinie de niveaux Imaginaires est idiote.

Vous voyez le paradoxe ?

Nous produisons une idée de l'infini, dans un Imaginaire fini. On ne peut donc qu'en supposer l'existence, au bout d'une piste dont on exhibe seules les premières traces, pour en déduire la direction à suivre, et l'atteindre (potentiellement) à l'issue d'une marche indéterminée, ce que l'on souligne d'un "etc."

Peano ne procède pas autrement pour créer le successeur d'un entier n et générer N, c'est ce que fait Cantor avec sa diagonale, pour créer l'ensemble des réels R (= ℵ¹) à partir de N (= ℵ⁰), pour ensuite itérer son geste, générant ainsi l'ensemble des cardinaux : ℵ⁰, ℵ¹, ℵ², ℵ³ ... etc.

Il faut donc s'en tenir à ceci :

En passant de I1 à I01, je crée N en comptant le nombre de fois que je rapporte le singleton 1 en I1 à la base (0;1) en I01.
En passant de I01 à IR, après avoir fait l'hypothèse du continu une première fois, c'est à dire, réalisé un premier saut I01 => IR, ce qui équivaut à créer la droite, R ou ℵ¹, qui nomment finalement le même concept d'infini, dans des contextes différents, je peux itérer l'opération une seconde fois , puis une troisième fois... etc.

Cantor a donné une méthode pour créer R à partir de N, en suivant un processus infini. La génération de la suite des nombres cardinaux tient à la réitération du processus pour donner ℵ⁰, ℵ¹, ℵ², ℵ³ ... etc., exactement de la même façon que l'on a créé 1, 2, 3 ... etc par itération des sauts I1 => I01.

L'action pour passer de I01 à IR est plus complexe que celle consistant à passer de I1 à I01, mais l'itération en soi est du même ordre. Et c'est en cela que la pensée s'économise...

Par ailleurs, comme nous avons déjà défini le produit d'objets en I01, il n'est pas difficile d'utiliser ce qui existe déjà pour créer en IR la surface comme un produit de deux droites, un volume comme le produit d'une droite et d'une surface... etc.

Donc, ce niveau IR suffit à imaginer toutes les dimensions de la géométrie (hormis le point en I1 et l'ensemble vide en I0) comme l'ensemble des cardinaux ℵ⁰, ℵ¹, ℵ², ℵ³ ... etc.

Ouf, je crois que c'est plus clair !

Hari

Note du 24/ 11/ 2018:

Je suis en pleine rédaction du billet "Galois - Part 5 L'action et sa représentation"; où je reviens sur la discussion que je développe ici : R et C sont-ils sur un même niveau IR ou y a-t-il un saut diachronique pour passer de l'un à l'autre. La réponse qui semble s'affirmer est qu'ils diffèrent seulement par leur ordre d'apparition en IR.

Premier saut : hypothèse du continu, création de R;
Second saut : R², et "représentation" de R² par C.

Autrement dit l'invention de i comme racine de -1 est vue comme une "écriture" par un seul chiffre de la position d'un point dans le plan, ce qui peut être fait par un couple (x;y) dans R².

Bien, mais l'idée qui me vient est que ce point de vue se développe au cours du XX^e siècle, plus intéressé par les développements du calcul vectoriel, matriciel et tensoriel que par C; tandis qu'au XIXè siècle, les matheux avaient une très grande familiarité avec les nombres complexes, et Hamilton par exemple cherchera à poursuivre au-delà du plan la représentation des nombres, avec ses quaternions.

Autrement dit, la structuration que je développe I1<I01<IR<I#<I0 me semble la plus simple possible, en ce sens qu'à chaque niveau j'introduis un axiome ou une "prise de conscience" particulière telle que:

I1 : notion d'objet final, d'existence ;
I01 : objet classifiant, axiome de choix et principe d'inertie (Galilée);
IR : hypothèse du continu;
I# : notion d'invariance du volume et sans doute (je n'y suis pas encore) un principe d'optimisation (Maupertuis);
I0 : notion d'objet initial.

Mais il ne faut pas perdre de vue un principe général de relativité par rapport au Sujet ! Rien ne nous assure que le chemin tracé entre I1 et I0 soit le plus court, ni qu'il soit définitif !

Lorsque, par exemple, Paolo Ruffini s'intéresse à la résolution des équations algébriques, il est certain que son Imaginaire n'a pas cette structure, et sans doute que la différence entre R et C lui apparaît plus fondamentale qu'à nous ici et maintenant !

Il y aurait tout un travail archéologique à poursuivre dans les traces de Foucault à partir des outils que nous développons ici !

Note du 14/11/2020 :

Toute cette approche tombe à l'eau parce que je n'avais pas à l'époque adopté la bonne posture pour poser correctement et résoudre le problème !

voir : "Le point # 7 - Retour à Évariste Galois"