Évariste Galois - 2ème étape - d'Alembert, Moivre, Gauss et les autres

Nous venons de repérer deux voies distinctes (cf: "Topologie Part 1") pour passer du niveau I01 au niveau IR. La première est "algébrique", la seconde "topologique", et nous avons caractérisé une différence essentielle dans la description d'un objet I01, selon que l'on emprunte l'une ou l'autre, pour arriver à ce schéma :

J'avoue que j'étais assez fier de retrouver si clairement la raison pour laquelle les "comorphismes" s'invitent dans la danse.

Mais l'avancée est plus importante qu'il n'y paraît !

En effet, il m'est venu d'écrire, sous la contrainte de l'évidence, qu'une fois franchie une étape Imaginaire, en l'occurence le passage de I01 à IR, me permettant d'exprimer de nouveaux "choix", comme ici d'accepter l'hypothèse du continu en IR, j'avais somme toute la liberté de m'abstenir de le faire.

Mais tu comprends bien que cette abstention n'a rien d'une ignorance, or donc, par l'exercice de ma réflexion, j'ai organisé mon Imaginaire ainsi : I1< I01< IR< I0.

- Tu te répètes.

- Oui parce que ce constat concerne également mon approche. Jusqu'ici, je me suis attaché à analyser le discours rationnel (Ik< Ik+1< Im) et disant que le Sujet en Im, rapporte un discours en Ik à un ensembles de critères en Ik+1 (ce que l'on  pourrait définir de façon générale comme un "discours classifiant"). Tout ceci peut se traduire aisément en empruntant le vocabulaire de la théorie des Catégories en disant que j'établis des "morphismes" entre des objets au niveau Ik vers des objets au niveau Ik+1.

Bien, c'est si l'on puit dire, la logique élémentaire que l'enfant acquière très tôt, en prenant conscience des objets et des liens de causalité, par l'expérience et les questions sans fin dont il abreuve ses parents. maintenant notre enfant s'éveille, et se situe dans l'espace, par proximités et passe par le stade du miroir lui permettant de se représenter dans le regard de l'autre. C'est fondamentalement le dédoublement Im'< Im qui était nécessaire pour parler de la différence de point de vue local/ global qui s'impose au mathématicien lorsqu'il s'intéresse à la topologie. Ce qui nous à conduit au présent tableau.

Mais, à la réflexion,  je viens de prendre conscience qu'il me faut intégrer cette évolution dans le corps de ma démarche elle-même !

- Après tout c'était bien le but de ton exploration des mathématiques, non ?

- Oui, certes, mais avoir une compréhension intellectuelle d'une nécessité et la vivre sont deux choses différentes. Ici, je fais par de ma propre prise de conscience que mon modèle doit évoluer.

- Tout ce qui tu développe depuis "L"Homme Quantique" part-il donc en fumée?

- Pas du tout: la remise en cause s'inscrit dans ce qui est déjà là. Il s'agit de la genèse d'une pensée qui se creuse à l'intérieur des limites qu'elle a déjà construites, comme l'objet mathématique en son ensemble se déploie tout entier entre l'objet initial { } en I0 et l'objet final {*} en I1. Lorsque nous avons introduit le niveau I01, nous l'avons introduit entre ces deux premiers niveaux qui circonscrivent l'espace Imaginaire ! En ce sens, nous répondons à la critique que Derrida adressait aux Structuralistes, lors d'un fameux colloque à Cerisy, leur reprochant de ne pas expliquer la genèse de leurs structures. Et bien, ici, nous suivons à la trace le développement interne de l'entropologie.

- Mais précisément de quoi s'agit-il ?

- Du de la possibilité de représenter un comorphisme comme un mouvement diachronique descendant! 

- Mais où voyais-tu un problème ?

- Tout simplement parce que l'hypothèse implicite d'une construction à l'aide de morphismes (i.e.: sauts Ik => Ik+1), c'est que notre entendement se construit par un processus immanent.

- Tu ne vais pas me ressortir l'entendement de second ordre de Spinoza, de type transcendant, quand même ?

- Non, mais la difficulté est là : comment puis-je descendre dans mon imaginaire et concevoir le passage Ik+1 => Ik ?

_ je ne vois pas le problème.

- Il est pourtant évident: je ne peux pas descendre dans mon Imaginaire sans perdre conscience des critères qui déterminent l'existence même de ma destination. Il faut inscrire Im dans le schéma pour mieux comprendre le problème : écrie Ik+1 => Ik s'explicite ainsi :

Situation décrite ex post, par moi, DM hors du discours à propos d'un sujet Im :

Ik< Ik+1< Im< DM => Ik< Im< Ik+1< DM

 Mai le Sujet exprime  l'expérience de cette façon :

Ik< Ik+1 < Im< S => Ik< Im< S

Ce qui relevait du jugement rationnel (je rapporte Ik à Ik+1), se réduit à un "choix" en Ik seulement dicté par des croyances, des préjugés, une culture qui s'impose au Sujet, en position ex ante par rapport à son système symbolique !

- Et donc, en quoi consiste ta propre évolution ?

- Ce mouvement descendant correspond à un comorphisme, tel qu'il apparaît en topologie. Et ce dont je me rends compte, c'est que ce concept nécessite le dédoublement Im'< Im, qui seul permet le point de vue local/ global qui intéresse le mathématicien.

- Si je te comprends bien, la genèse de l'Imaginaire se caractérise ainsi :

• Naissance du bébé : déchirure primordiale  <=> I1 / I0 =Im;
• Appréhension des objets (jeu de fort/da) <=> introduction de I01;
• Stade du miroir <=> introduction de IR qui permet Im'< Im.

- C'est tout à fait cela.

- Mais en quoi précisément consiste la nouveauté ?

- En fait, je viens de relativiser le couple Im/ DM !

- Ça devient compliqué, on dirait une structure fractale.

- Au contraire: ça devient plus simple parce que, si la figure d'ensemble apparait comme un vrai fouillis, le motif de détail en est extrêmement simple. Pour introduire la théorie, j'ai du m'extraire du discours que je te tiens en précisant ma place hors du système par DM, comme le Démon de Maxwell est parfois invité à agir sans échange d'énergie dans certaines expériences de pensée en physique.  J'ai donc d'entrée de jeu établi une différence Im < DM. Le pas suivant, c'est de relativiser ce couple : le Sujet Im de mon propre discours, peut lui-même parler de lui avec la même distance que moi par rapport à lui d'où l'analogie :

Im' < Im <=> Im < DM

Et dans l'affaire, l'analogue de ce que DM décrit comme une pensée mythique de Im et qui se caractérise par la position ex ante de Im par rapport à un discours Ik+1 qui (pour moi !) le détermine, devient une "pensée rationnelle topologique" :

Ik< Im <Ik+1 < DM <=> Ik< Im'< Ik+1< Im.

La différence avec la descente précédente, c'est qu'ici Im en position ex post, et donc dans un discours rationnel, est globalement rationnel et peut exprimer en IK+1 un discours qui échappe localement à son "minimoi" : Im'< Ik+1.

Ça, c'est le recul que je prends ici et maintenant, me permettant de préciser ma théorie. Maintenant, notre exploration des mathématiques nous a permis de préciser la gymnastique possible de ce duo par rapport aux premiers niveaux de notre Imaginaire (voir "Mathématiques et aspects quantiques des processus psychiques").

- OK, beau looping pour revenir à ce que tu as déjà exposé, mais quel rapport avec le titre de ce billet ?

- Maintenant que nous avons clarifié dans quelles conditions l'on peut décrire un mouvement descendant, la première conséquence en est que :

• La répétition d'une montée Ik => Ik+1 peut être infinie;
• La répétition d'une régression Ik+1 => Ik est toujours limitée car il s'agit de déconstruire un ensemble fini, arrêté antérieurement à cette opération, à un stade donné de son élaboration par Im.

- Peux-tu expliciter ton dernier point ?

- C'est le constat qu'un objet "observable", c.-à-d. ramené au niveau I01, a toujours une certaine résolution, comme une photo a un certain "grain". C'est formellement pris en compte en mathématiques, à chaque étape visitée, en particulier :

• dans un Ensemble avec l'axiome de fondement-régularité (voir Axiome 9 dans "des ensembles et des groupes");
• dans un espace topologique avec la finitude des intersections d'Ouverts (voir Axiome 2 dans "topologie Part 1").

D'où l'aspect systématiquement "quantique" de nos représentations, même lorsqu'ils se réfère à des concepts de continuité, d'infini, de compacité etc. de niveau IR ou supérieur. D'où cet aspect fractal de nos représentations qui présente, selon le mot de Mandelbrot, une certaine "rugosité".

-Je vois bien que tu clarifies des pensées qui se dispersent un peu partout sur ton blog au fil de la plume, mais nous n'avançons pas beaucoup !

- Tu as raison, je faisais un dernier tour d'horizon pour vérifier que tout était cohérent avant d'attaquer la suite, autrement dit, suivre dans le paysage que nous venons de brosser à grands traits, le cheminement d'Évariste Galois.

- En quelque sorte, tu te situe en Im, pour suivre l'évolution de ton avatar en Im'  de conserve avec Évariste Galois, traçant un chemin que tu ignores encore, mais dont tu supposes qu'il mènera au point de vue que tu viens de décrire.

- C'est l'idée.

Nous sommes donc en 1832, peu de temps avant le duel qui lui ôta la vie, le 25 mai et il écrit un "mémoire sur les conditions  sur de résolution des équations par radicaux". Manuscrit oublié, retrouvé et publié quatorze ans plus tard par Liouville et qui fût, grâce à lui, le déclencheur du point de vue aussi bien structurel que méthodologique, des mathématiques modernes. 

De quoi s'agit-il? D'équations; ça, tu sais ce que c'est, mais qu'est-ce qu'une "résolution par radicaux" ? Fondamentalement, il s'agit d'une déconstruction.

- C'est bien la première fois que j'entends ce terme en mathématiques.

- Partons du carré d'un nombre : a x a = a². Laissons tomber toutes les considérations que nous avons développées au sujet de la multiplication, pour n'en retenir que sa nature ultime d'un mouvement "diachronique", nous faisant passer par "a" itérations, d'un objet "a" au niveau Ik à un objet "a²" au niveau supérieur Ik+1). Nous sommes ici pleinement dans un mouvement ascendant, que l'on reconstituera à l'aide de morphismes dans la théorie des Catégories.Tu y es ?

- Ça, c'est vraiment un recadrage fait par toi en Im !

- Bien sûr, mais de ce point de vue, il apparaît immédiatement, sans l'intelligence qu'il a fallu à Galois à son époque, que "chercher une racine", c'est envisager le chemin inverse, un passage de Ik+1 => Ik, ce qui est structurellement semblable à un "comorphisme". Tu vois que nous sommes pleinement dans notre sujet. Le terme de "racine" indique à l'évidence que la démarche était clairement dans la tête des mathématiciens et que je ne la déforme pas en la formalisant ainsi. Tu peux même remonter le fil de l'histoire jusqu'aux Pythagoriciens et à la résolution des équations du second degré à l'aide de gnomons, ce qui est très concrètement passer de considérations concernant la surface d'une aire à la mesure de ses côtés. Cependant, cette approche a ses limites et l'Oracle de Delphes nous laisse le bec dans l'eau avec le problème de la duplication du cube... Tout ceci pour te dire que notre Évariste est bien au centre de préoccupations qui agitent les mathématiciens depuis fort longtemps ! 

Pour le situer plus précisément, il faut revenir à d'Alembert et Gauss qui établirent ce que l'on appelle le "théorème fondamental de l'algèbre", bien qu'il n'en ai pas le formaliste.

Deux expressions formelles :

• Tout polynôme à coefficients complexes est scindé
• Le corps C (des complexes) est algébriquement clos

Les deux exprimant que tout polynôme P= a₀ + a₁x + a₂x²...+ a_ixⁱ ...+ a_nxⁿ peut s'écrire à l'aide de ses n racines α_i : P=a_n(x-α₁)(x-α₂)...(x-α_i)...(x-α_n).

Le point fondamental est que l'on attaque le problème avec la notion reine de l'époque pour parler des nombre: celle de complexe.

- Quel rapport avec notre démarche?

- Un nombre complexe est fondamentalement une représentation d'un vecteur, avec deux coordonnées. Autrement dit, c'est un objet qui, implicitement, se construit en IR, et non d'une notion simplement Ensembliste, en I01. C'est dire qu'il traîne avec lui toute une structure liée à sa construction, avec deux sauts :

1. Saut I01 => IR : hypothèse du continu et définition de R;
2. Saut I01 => IR : produit d'objet RXR , et des complexes (x,y)

Ces deux sauts étant les mêmes que ceux nécessaires à l'expression d'un espace vectoriel.

- Mais en quoi est-ce pertinent pour le sujet qui nous occupe ?

- Parce que si la notion de produit est strictement imaginable en I01, tu vois qu'ici, pour résoudre un problème de niveau I01, j'utilise des objets de niveau IR.

- Quelle conséquence ?

- La notion de borne ! 

• Dans une construction en I01 par itération du mouvement d'un objet repéré en I1 tel que {*}, je génère à l'aide de morphismes I1=>I01  l'ensemble des entiers Naturels, N, qui n'est pas borné, puisque je procède sans aucun recul Imaginaire à l'itération infinie du même :  I1<I01=Im. Idem pour Q, l'ensemble des nombres relatifs.
• Lorsque Gauss résout un problème lié aux polynômes à l'aide de Complexes, il y a bel et bien un mouvement de l'ordre d'un comorphisme I01< IR=Im => I01=Im' < Ir (=Im).

Puisque le discours de Im' est primitivement limité par l'Imaginaire de Im, (ce qu'exprime d'ailleurs parfaitement le terme de "nombre imaginaire" introduit par Descartes) sa démarche est nécessairement bornée; et tu retrouves ici toute notre discussion concernant la pixellisation de nos représentations. En l'espèce, après avoir conçu IR, je (en Im) redescends (en Im') en I01,  avec la notion de borne, qui est fondamentalement une notion géométrique.

D'où ce paradoxe que N et Q ne sont pas bornés, contrairement à R et C qui les "contiennent". Je te laisse le soin d'aller le vérifier en détail, mais j'espère que tu apprécies la perspective qu'offre notre approche !

Le pas suivant est de comprendre ce qu'est la racine n^ième d'un nombre complexe, en IR.

Au fur et à mesure que je pioche dans Wikipédia, en régressant de Gauss à Viète en passant par Euler et Descartes, mon attention se focalise sur la formule de Moivre. Pour tout réel et n entier, alors:

(cos x + i sin x)ⁿ = cos (n.x) + i sin (n.x)

À l'évidence, il y a un rapprochement entre la puissance n d'un nombre et des rotations, et donc une idée de symétrie qui s'en dégage...

- Pour moi, le carré d'un nombre représente une surface, et le cube un volume.

- Ah ! il y a bien là quelque chose qui interpele, et questionne directement notre démarche ! Tu sais que je m'interroge depuis longtemps sur la représentation des objets de la géométrie, et ce blog en garde les traces (cf.: "géométrie et symétries" ou "les objets de la géométrie d'Euclide").

Là, nous sommes au pied du mur car la démonstration nous renvoie directement au concept de "rotation" par cette formule de Moivre, mais également au concept de "mesure", c'est-à-dire, avec le théorème de Pythagore, à la notion de surface.

On peut déjà remarquer que dans cette formule, x en un concept de niveau IR, et n de niveau I01, alors que dans l'expression de l'aire d'une surface, la multiplication opère sur deux éléments de même nature, en IR. Et nous avons déjà jeté un pont vers un niveau I#, où s'exprimeraient, d'une façon générale des  expressions symplectiques (de la forme ab'-ba'), permettant au premier chef d'exprimer surfaces et normes.

Intuitivement,donc, et il faudra y revenir,  je pars de l'hypothèse que:

• Une rotation s'articule entre I01 et IR;
• Une surface et une norme s'articulent entre IR et I#.

Et si je laisse cour à mon imagination fertile, j'imagine un nombre complexe comme une sorte de "spin" en IR, qui se fige en I01, avec toujours cette idée de dégénérescence, ou de décohérence progressive de l'Imaginaire dans un mouvement de descente.

Mais pour exposer une telle hypothèse, il me faut monter d'un cran : IR< I#=Im.

Autrement dit, me voici, Im' parlant en I01 d'un polynôme P, en utilisant des objets définis en IR, auxquels j'applique des opérations de rotation (de niveau IR) et de mesure (de niveau I#) !

-  Tu n'as toujours pas défini une rotation.

- Oui, oui, mais je voulais auparavant, mettre la problématique en perspective !

1. Qu'est-ce qu'un vecteur? La représentation en IR d'un mouvement diachronique entre I01 et IR , à partir d'un corps K en I01. Et nous avons défini, dans un espace vectoriel, une addition + et une multiplication externe par un scalaire.
2. Qu'est-ce qu'un nombre complexe? Un couple (x, y) représenté par un vecteur dont l'origine serait confondu à celle d'un repère cartésien et l'extrémité au point (x,y) de celui-ci.

Dans un cas je représente un mouvement (diachronique) , dans l'autre un objet (synchronique). 

On voit bien que dans la première acception du terme, je n'ai pas de notion de rotation: les mouvements se composent linéairement; dans le second, la rotation est envisageable dans la mesure où j'ai fixé un repère. Mais de quelle nature ? À ce stade du développement, je suis bien obligé de convenir qu'il répond à ma propre nécessité, autrement dit, qu'il se définit par la "position" de Im' en IR. 

Mais que signifie l'expression xⁿ ? Elle a déjà une signification en I01 : c'est le nombre de morphismes que l'on peut construire entre un ensemble de n éléments (en domaine) vers un ensemble de x éléments (en codomaine). Pour être cohérents, il faudrait concevoir que nous gardions la même définition entre I01 et IR :

Ce qui implique cette idée, pas intuitive du tout pour le coup, que la répétition entre I01 et IR est repérable par une "rotation" en IR ! J'avoue que celle-ci, je la découvre en l'écrivant !

- Mais tu nous avais déjà parlé de sauts successifs entre I01 et IR, avec une toute autre signification, liée précédemment à l'enrichissement des objets (de N on passe à R puis C)  manipulés par le corps de base K !

- C'est exact, mais ces deux aspects distincts d'un "saut I01 => IR" tient sans doute à la nature des objets auxquels il s'applique. Je m'intéressais alors aux structures algébriques, quand ici nous parlons des éléments qu'elles manipulent. Le même saut, impliquant R cette fois, nous fait passer du concept de ligne à celui de surface puis de volume etc. Nous avions déjà discuté de la polymorphie de ce saut (voir etc.) Et bien, ici, en traitant des nombres, il semble que nous arrivions au plus profond de son essence qui soit d'être une "rotation"!

En résumé: notre pauvre I', coincé en IR, interprète l'itération des sauts permettant de construire x en IR à partir d'éléments (a,b) en I01, comme des "rotations" par rapport à un référentiel se définissant à partir de I#=Im.

- Ouf, c'est pas simple ! De plus tu peux concevoir des polynômes à coefficients complexes...

- Certes, mais tu remarqueras immédiatement une problématique "covariance/ contravariance" des vecteurs s'inviter subrepticement dans la discussion ça compense de bien des efforts ! Nous y reviendrons. Ensuite, et c'est toujours la même ritournelle, une fois que tu as imaginé xⁿ avec n entier, c'est à dire fondamentalement comme un mouvement diachronique, tu peux tout en restant en IR, garder la structure que tu viens de construire pour l'utiliser sur les autres éléments que tu y trouves... Tu es toujours dans une itération, mais sans réelle création imaginaire...

Maintenant que tout l'échafaudage est en place, et avant de revenir à Gauss et son polynôme, je penses qu'il est tard et nécessaire de laisser tout ceci reposer cette nuit.

Nous ferons le point demain.

Hari.