Camp de base, avant l'escalade

- J'ai eu un choc hier lorsqu'en rédigeant mon dernier billet j'ai pris conscience, d'un coup, de la nature même du saut diachronique qui mène de I01 à IR : une rotation ! Et pour y parvenir, il m'a fallu grimper Im suffisamment haut dans l'Imaginaire pour concevoir, non seulement IR, mais également I#, dans le but de "comprendre" un problème qui se pose en I01 : le théorème fondamental de l'algèbre.

C'est pourquoi, avant de poursuivre notre approche des travaux d'Évariste Galois, il serait bon de tirer les conséquences de cette avancée, et de faire un point.

1/ D'abord une vue d'ensemble sur la structure Imaginaire I1 / I01 / IR / I#.

Le passage d'un niveau au suivant, sachant que le concept vide { } les transcende tous en I0, peut se résumer ainsi : 

• {I1;I01}, je construis mes concepts en I01 à partir d'un seul élément {*} de I1;
• {I01;IR}, j'utilise un couple d'éléments (x,y) pour représenter soit un vecteur, soit un nombre complexe;
• {IR;I#}, j'utilise un couple de vecteurs (x,y) et (x',y') pour définir un produit vectoriel (xy'-x'y).

Tu vois qu'ainsi résumé, l'étagement est extrêmement simple.

- Mais pourquoi ton produit vectoriel impose-t-il un nouveau niveau, n'était-il pas plus simple de le repérer en IR ?

- C'est toute la question, et la réponse tient au fait d'avoir identifier une différence de nature entre les sauts I1=>I01 et I01=>IR, car je me dis que le saut IR=>I#, s'il a un sens, doit être également caractérisé par un concept qui ne soit pas du niveau IR.

- Et j'imagine que tu l'as trouvé ?

- Bien entendu : c'est le concept de surface, ou plus généralement de volume (par itération du concept à ce niveau), et par utilisation du théorème de Pythagore, la notion même de mesure et de norme. Pour nous résumer :

• I1 : l'objet final {* };
• I01 : les Ensembles et les Groupes;
• IR : deux filiations : les espaces vectoriels et algèbres d'une part, les espaces affines et projectifs d'autre part.
• I# : les normes et les surfaces.

C'est encore un peu brut de décoffrage, mais je pense que le principal y est. Tu remarqueras au passage qu'à partir de I#, on peut commencer sérieusement à parler de physique avec une généralisation du produit vectoriel, c'est-à-dire les formes symplectiques. C'est d'ailleurs, historiquement avec des considérations de conservation de l'aire d'un triangle, que Newton a démontré la loi des aires de Kepler (voir "De Descartes, Leibniz et Newton").

2/ Seconde série de remarques, concernant la place duale du Sujet, soit Im ou Im', avec toujours Im'<Im. Dès que la distinction a un sens, c.-à-d. au-dessus de I01, s'offre à toi la possibilité d'un point de vue soit global, soit local.

• Im, en position ex post par rapport à tout ses discours est comme un Deus ex machina pour Im', et lui impose ses préjugés ou ses propres contraintes; en bref, il "cadre" Im';
• Im' ne peut utiliser que les concepts de son niveau, avec cette nuance:
  • Soit il construit ses procédures et les objets à partir des niveaux inférieurs, de façon strictement "immanente";
  • Soit après une montée jusqu'à Im, il redescend au niveau où il se tient. Dans ce cas, après cette première montée, il peut manipuler avec les lois propres à son niveau, des objets formés au cours de la première montée.

- Le second point me semble un peu tarabiscoté. (relecture au 27/10/2019)

- C'est ce que nous avons déjà vu, concernant par exemple un corps K sur C (nombres complexes). La structure elle-même est de niveau I01, quand C est de niveau IR, construit à partir de I01. C'est en quelque sorte une "pseudo-transcendance" : les objets me tombent dessus, depuis Im, et je me débrouille avec les outils à ma disposition en Im'.

Nous pouvons même distinguer plusieurs cas de figures, en partant de I#.

• En I#, le produit vectoriel me permet de définir pour IR l'orthogonalité et la colinéarité de 2 vecteurs (aire maximum et minimum embrassée par deux vecteurs), et donc de définir un "repère cartésien" centré sur Im', sans impliquer le concept de "surface";
• En IR, le repère cartésien récupéré de I# me permet de définir un "angle" de rotation d'un vecteur par rapport à un axe donné.
• En I01, je peux exprimer toute la trigonométrie propre à IR, à l'aide de suites infinies de nombres rationnels.

3/ Concernant plus particulièrement les Complexes vus en I01 :

Historiquement, les nombres imaginaires furent conçus pour apparaître à certaines étapes du calcul des racines d'une équation, et s'effacer des solutions finales lorsqu'elles existent. Cela implique que si une équation a des racines complexes, elles se présentent toujours par deux, avec des parties imaginaires complémentaires :

• En IR : si (a+ib) est racine, alors (a-ib) également;
• En I01 : nous ne pouvons "voir" que l'addition  (2a), le quotient (a/b); le produit (a²-b²) ou  le module (a²+b²) du couple (a,b).

Cependant, à part l'addition, ces objets repérables en I01, n'ont de sens véritablement qu'à un niveau supérieur de la conscience : 

• En IR : (2a) est le résultat de l'addition vectorielle ;
• En IR, muni d'une base issue de I# : a/b est la tangente d'un angle par rapport à un repère cartésien ;
• En I# : (a²+b²) est le module commun aux deux nombres complexes (a+ib) et (a-ib) ; (a²-b²) est la surface du losange qu'ils définissent.

Tu vois tout de suite une question centrale en physique : que peut-on observer des concepts que nous manipulons !

- Et que peux-tu en dire à ce stade?

- Que notre expérience du "Réel" implique une succession temporelle, autrement dit que notre cerveau est structurellement conditionné pour interpréter notre relation au Réel comme une suite d'enchaînements de causes à conséquences. C'est dire que notre première expérience du Réel se situe en I01. D'où l'importance de devoir tout ramener in fine par une suite de  mouvements semblables à des "comorphismes", sur la Catégorie des Ensembles. C'est ce que nous venons de voir, dans cette descente par étapes de I# vers IR, puis I01.

- Soit mais si nous allons sur ce terrain, nous allons perdre le fil de ta démarche.

- Nous y reviendrons certainement. Pour l'instant nous en sommes toujours au théorème fondamental de l'algèbre. Je te propose d'y revenir après avoir pris le temps de ruminer ce que nous venons de rassembler ici, car bien des choses s'organisent autour de ceci.

Hari.

Note du 10/ 11/ 2018

Je me réfère de plus en plus fréquemment à différentes étapes significatives du développement intellectuel des enfants. Je pense qu'il faudra consolider ce parallèle, et en particulier pour les niveaux synchroniques dont nous parlons ici. A priori je vois la correspondance suivante:

• I1 : la naissance, la coupure primitive, et le stade oral entre 3 et 8 mois (Françoise Dolto);
• I01 : la conception de l'objet, le fort/da (il continu d'exister hors de ma vue) entre 8 et 18 mois;
• IR : le stade du miroir : je me positionne dans le regard de l'autre (je me retourne !), Im' < Im; perspective et symétrie. Compréhension acquise vers 2 ans;
• I# : acquisition du la notion de conservation de la substance ou de la matière vers 7-8 ans.

Le stade suivant devrait concerner les rapports du langage à lui-même, mais ce n'est qu'une hypothèse.

Tout ceci mériterait d'être consolidé, bien sûr, mais c'est une piste !

Note du 27/10/2019

À l'époque je n'avais pas encore compris que le passage de Im à I'm implique une symétrie de l'image (en I'm) du Sujet (situé en Im). Il me faudra reprendre toute ma relecture du travail d'Évariste Galois !