Du morphisme au foncteur- théorie des catégories # 2

- Après un premier billet assez long aux confins de notre Imaginaire, à la limite du Réel, (voir #1), nous entrons de plain-pied dans ce garage hermétique qu'est notre Imaginaire; ce qui implique de caractériser et fixer notre vocabulaire pour en parler.

Dans une catégorie C donnée, un morphisme f: C→D est appelé isomorphisme s'il existe un morphisme g : D→C tel que:

• g°f = 1_C et f°g = 1_D;

alors on écrit g=f^-1; et C≅D ou C ⥲ D.

- Tu ne vas pas nous reproduire tout le texte de Mc Lane?

- Non, je cherche juste à situer ces définitions par rapport à notre propre démarche, or là, j'ai un problème : 

- Déjà ! Tu n'as pas beaucoup avancé et ça coince déjà?

- Oui, car ma façon de présenter une pensée "rationnelle" est fondamentalement dissymétrique : le Sujet, en Im,  "rapporte" un percept en Ik à un "concept" en Ik+1 (Note 2),  en se tenant dans une position ex post : Ik <Ik+1 ≤Im. 

Pour le premier morphisme f, ça nous donne: C en Ik et D en Ik+1. Maintenant le second morphisme g correspondrait à un "retour en arrière", de Ik+1 vers Ik.

- Pour le morphisme g tu pourrais considérer que D est en Ik et C en Ik+1 ?

- Ce n'est pas dans l'esprit de cet isomorphisme: l'idée est bien celle d'un "retour en arrière", comme le suggère l'écriture g=f^-1; comme s'il s'agissant de "défaire une action".

- Autrement dit, ce n'est pas imaginable entre I1 et I01 ?

- Ah ! Tu as mis le doigt dessus ! Ce f^-1 implique une symétrie dans le déroulement du temps; autrement dit, Ik ne peut pas être I1. Pour concevoir un isomorphisme il faut impérativement I01≤ Ik; autrement dit, avec Ik< Ik+1, nous sommes déjà dans une approche topologique. (i.e: IR≤Im voir note 2).

- Et en quoi ceci résout-il ton problème?

- Parce qu'à partir de IR, (voir note du 04 06) Im peut se dédoubler en I'm/Im pour avoir une vision soit globale (en Im) soit locale (en I'm) d'une situation. donnée:

• Expression globale vue de Im: f : C→D, avec I01 ≤Ik <Ik+1 <Im;
• Expression locale de la situation inverse vue de I'm: f^-1 : D→C, avec : I01 ≤I'm ≤Ik <Ik+1 <Im

Vu de I'm, le référé D, situé en Ik+1 est rapporté au crible C, en Ik. Comme tu le vois, la situation est en miroir de la précédente, mais cette réification ou "spatialisation" du temps, nous place de facto dans une pensée rationnelle topologique (i.e.: tu définis ton objet en Ik+1 à partir d'un co-morphime, en le rapportant à un filtre en Ik).

Ceci étant posé, en écrivant:

•  g°f (note 1), tu fais le chemin Ik=> Ik+1=> Ik en passant d'un point de vue global=> local, pour retomber sur C et donc g°f =1_C;
• f°g, tu fais le chemin inverse Ik+1=> Ik=> Ik+1 en passant d'un point de vue local=> global, pour retomber sur D et donc f°g=1_D.

Tu remarqueras tout de même une dissymétrie résiduelle dans l'exposé, car, in fine, c'est bien par rapport à f, et donc dans une vision globale, que tu écris g=f^-1.

En résumé:

• L'objet élémentaire, non structuré est représentable à la limite en I1; (i.e.: (*))
• Le saut I1/I01 est représentable en I01 (i.e.: sous forme de flèche orientée "→")
• L'isomorphisme est représentable en IR.(i.e.: "⇄")

- D'accord, donc tu as raccroché les wagons, mais j'espère que le rythme va s'accélérer !

- Il est vraiment nécessaire de prendre notre temps pour bien assimiler les concepts de base, et avancer sans laisser de non-dits en chemin. Par exemple, la discussion que nous venons d'avoir sur la dualité de points de vue local/ global, va nous permettre de mieux voir la symétrie entre les concepts de mono/ épi-morphismes.

Monomorphisme :

f: C→D est appelé monomorphisme ou (C↣D) , si pour tout objet B, deux morphismes g et h : B ⇉ C sont tels que  f°g=f°h implique g=h.

Épimorphisme :

f: C→D est appelé épimorphisme (ou C↠D) , si pour tout objet E, deux morphismes g et h:  D ⇉ E sont tels que g°f=h°f implique g=h.

L'idée, c'est la "simplification" à gauche pour le monomorphisme et à droite pour l'épimorphisme.

Cette symétrie gauche/ droite entre les deux concepts te met déjà la puce à l'oreille, et lorsque Mc Lane utilise les lettres B, C, D, E pour ces définitions, il nous met encore sur la voie : (Note 4)

• f: C→D est en position centrale;
• g et h:  D ⇉ E indique une construction en aval; ou postérieure;
• g et h : B ⇉ C indique une construction en amont; ou antérieure.

Or, nous ne parlons ici que de morphismes portant sur des objets quelconques, indépendamment de leur structure éventuelle, c.-à-d. qu'à la limite chacun des domaines de f, g et h est en I1 et chacun de leurs co-domaines en I01, avec une conception du temps réduite à la succession des flèches "→"; quelqu'en soit la nature par ailleurs.

Ces concepts d'épi- et de mono-morphismes sont là pour nous parler de l'invariance d'un concept synchronique de niveau I01, à savoir l'égalité "=" (c'est ce dont nous venons de parler) dans le temps, tel qu'il est ici perçu, à savoir la succession des transformations affectant les objets.

Et cette invariance, se traduit par une indifférence:

• Pour un monomorphisme : au passé de f et simplification à gauche;
• Pour un épimorphisme : au futur de f et simplification à droite.

En résumé: "épi" et "mono" qualifient de simples morphismes, et sont  des concepts représentables au minimum en I01, portant sur des objets à la limite en I1. Ils définissent les conditions d'une conservation du concept d'égalité, par une indifférence quand à l'origine du domaine ou à la postérité du codomaine. On peut parler ici de "translations" temporelles, mais à ce niveau I01, impossible d'aller plus loin faute d'une quelconque "mesure" du temps lui-même !

Équivalence : (voir relecture du 04 06)

Deux monomorphismes  f: A↣D et g: B↣D ayant même codomaine D sont dits équivalents s'il existe un isomorphisme h : A⥲B tel que g°h=f.

D'entrée de jeu, h implique que l'objet A soit représentable au minimum en I01, et B en IR, et donc h lui-même en IR, comme nous venons de le voir.

Ceci implique que nos deux monomorphismes f et g ne soient plus dans un registre temporel (entre I1 et I01) mais spatial (en IR) puisque l'objet "isomorphisme" qu'ils traitent est pleinement constitué en IR.

Comme le concept de "monomorphisme" est de nature plus élémentaire (i.e.: concevable dès I01) comme nous venons de le voir, il s'en suit que la notion d'équivalence elle-même est de ce niveau IR.

- Attends ! Si le domaine de g: B↣D est en IR, ne faut-il pas mettre son co-domaine à un niveau strictement supérieur: IR < ID ?

- Eh non ! Car en IR la répétition n'a plus le même statut qu'en I01: le concept de succession qui est le propre du domaine de la logique n'a plus court en IR. dans le domaine de la topologie.

- Là, je suis perdu !

- Nous en avons déjà longuement parlé (voir "etc.") à propos de Cantor.

Pour mémoire: je constitue R en IR, dans un premier saut I01/IR, en formant l'hypothèse du continu (dès que IR=Im => IR<Im, voir Note 2), ensuite, dans la répétition du saut, je crée l'espace R² ou C l'ensemble des nombres complexes. Mais dans C, j'ai perdu la notion de successeur entre les nombres, qui était en N et subsistait en R : il n'y a aucun rapport de succession entre, par exemple z₁=4+3i et z₂=3+4i. Il faut attendre d'introduire la mesure (en I#) pour comparer les nombres complexes par leur module:  |z₁|=|z₂|=5.

Or donc, ayant atteint IR, la répétition du même est d'ordre spatial (i.e.: avec une symétrisation du temps), et l'équivalence se conçoit en IR, avec I1< I01 < IR ≤ Im .

- Mais alors à quoi tient la différence entre les concepts d'isomorphisme et d'équivalence?

- Elle tient à la symétrisation progressive du concept de "flèche" entre les "objets" d'un morphisme :

• L'identité en I01 ≤ Im
  • L'objet référé du discours est en I1: c'est le domaine du morphisme;
  • 1 seul sens du mouvement "→" de I1 vers I01; représentable en I01;
• L'isomorphisme en IR ≤ Im
  • Symétrisation morphisme/ co-morphisme "⇄" représentable en IR
  • Impliquant la dualité I'm/Im;
  • L'objet référé (le domaine) est semblable à l'objet référent (le codomaine) d'un point de vue local (pour I'm< IR);
• L'équivalence en IR < Im
  • les parties A et B sont repérables en I01, et rapportées à C en IR par deux monomorphismes qui font le lien entre I01 et IR ≤Im;
  • Mais le jugement ou la qualification des objets A et B se fait en IR, après avoir ramené lesdits objets à ce niveau par un isomorphisme.
  • Le discours peut être dual :
    • Vu localement, de I'm en I01: l'objet C est le référé rapporté à ses parties;
    • Vu globalement de Im>IR, l'objet C est le référant auquel on rapportent les parties A et B.

D'une pensée logique, centrée sur le domaine du morphisme, on passe à une pensée topologique, centrée sur son codomaine; et le changement de perspective concernant l'objet référé, n'est identifiable qu'en IR, 

Dans ce changement de perspective, les sous-parties de l'objet changent de statut ! Dans le premier cas, on part de l'élément pour construire l'objet, dans le second, l'objet est décomposé en parties (note 5). C'est pourquoi Mc Lane n'introduit le sous-objet qu'après avoir défini le concept d'équivalence.

Sous-objet :

Un sous-objet de D est une classe d'équivalence de monomorphismes ayant D comme codomaine. C'est définir le sous-objet par un mouvement le rapportant à un objet global. Pour compter le nombre d'éléments du sous-objet, on compte le nombre de monomorphismes dans la classe d'équivalence (note 6).

La notion d'équivalence nous situe immédiatement au niveau IR du discours:

• L'objet D est appréhendé par le Sujet au minimum en IR;
• Les parties de D peuvent apparaître en I01, mais ne sont jugées équivalentes qu'en IR;
• Le Sujet peut adopter :
  • une vision globale en Im, ex post en rapportant les parties au tout,
  • une vision locale en I'm, ex ante en construisant le tout au-dessus des parties.

Tu remarqueras que l'objet référé est potentiellement absent au regard de I'm, ce dernier étant en position ex ante par rapport à lui ! En fait, cette approche ouvre le champ à tous les objets mathématiques qui ont été développés à partir des travaux d'Évariste Galois, car nous avons ici la situation conduisant au concept de faisceau !

Cependant, notre construction en IR a détruit la notion de successeur propre au niveau I01, et donc d'ordre entre les objets de ce niveau.

Structure d'ordre partiel :

Souviens-toi que le morphisme élémentaire h: A→B ayant pour domaine  A en I1 et pour codomaine B en I01, introduit immédiatement un ordre de préséance entre A et B, qui se traduit en I01 par une dissymétrie gauche/ droite dans l'écriture (voir "#1"), ce qui induit la notion "d'ordre" en I01.

L'idée, c'est de retrouver en IR cet "ordre" perdu à cause de la symétrisation du temps qui s'y opère. Pour cela on va considérer A et B comme les sous-objets de D en regroupant les monomorphismes qui les définissent :

• [f] la classe des f:  A↣D définissant le sous-objet A de D;
• [g] la classe des g:  B↣D définissant le sous-objet B de D;

Soit h: A→B, un morphisme élémentaire :

• Pour h nous avons A en I1 et B en I01, et donc A<B en I01;
• Pour f et g, domaines et codomaines ont déjà été repérés en I01 (puisque les domaines des monomorphismes ont un passé);
• Pour les classes [f] et [g], le jugement d'équivalence permettant de dire que A et B sous des parties de C se porte en IR.

On définira [f]<[g] si et seulement si nous avons pour tout f de [f] un g de [g] tel que  f=g°h : L'ordre entre A et B défini en I01 par l'existence de h se répercute en IR par cette définition.

- Mais tu me parles d'ordre "<", quand Mc Lane parle d'ordre partiel "≤" !

- Oui, et la question est d'importance.

En mathématiques, on considère toujours l'ordre partiel A≤B comme "plus faible" que l'ordre A<B. Cependant, si tu suis ma démarche, il apparaît clairement que le concept d'égalité entre deux objets est postérieur à celui de simple succession. Pour constater A=B il faut au minimum avoir identifié A et B en I01, annulant ainsi la différence diachronique qui distingue A comme domaine de B comme codomaine du morphisme h: A→B. Dit autrement pour le Sujet Im :

• IR≤Im: les concepts d'équivalence et d'ordre partiel sont représentables , et l'on peut écrire  sans difficulté A≤B ;
• I01≤Im : 
  • A<B demande 1 saut diachronique : h: A→B;
  • A=B demande 2 sauts diachroniques: A→I_A & h: A→B.

Je pense que c'est dans l'inversion de l'ordre des concepts (i.e.: en considérant ≤ "plus faible" que <), que l'indétermination propre à tout concept diachronique est évacuée. Et c'est précisément à ce niveau charnière IR entre logique et topologie que la rupture s'établit.

- Je ne suis pas convaincu: il me semble que la relation d'ordre dont parle Mc Lane ait plutôt à voir avec la distinction entre application injective ou surjective.

- C'est la façon purement topologique de regarder le problème en IR, en considérant domaine et/ou codomaine d'un morphisme élémentaire comme un "point" dans les objets A, B ou C. De ce point de vue, écrire f=g°h implique que :

• Nombre d'éléments A = nombre de flèches de [f] (i.e.: chaque élément du domaine A est associé à un morphisme)
• Le nombre de morphismes de [g] ne peut pas être inférieur au nombre d'éléments de A;  puisque le nombre de morphismes g°h lui est égal.
• Ceci implique que le nombre d'éléments de [g] ≥ [f]

En termes ensemblistes l'application h: A→B est injective et le nombre d'éléments de A≤B. Tu vois ici comment, notre façon de dire "ne peut pas être <" est une "réflexion" sur le concept "<" nous renvoyant à celui de "≥". Mais ce concept "plus faible" est bel et bien d'un niveau de pensée plus élevé que "<", puisqu'il en est la négation, et ce faisant s'y réfère (Note 7).

Catégorie duale

La catégorie duale d'une catégorie C qui s'écrit C^op est telle que :

• On garde les mêmes objets;
• On inverse toutes les flèches des morphismes.

Nous avons déjà discuté de ce qu'implique cette inversion de flèche dans la définition d'un isomorphisme, à savoir la possibilité d'une dualité de points de vue du Sujet : I'm/ Im, autrement dit Im est  au minimum en IR. Cette notion de catégorie duale est dans sa construction purement d'ordre topologique, même avant d'avoir aucune idée d'un espace topologique (i.e.: dès IR=Im, avant IR<Im et l'hypothèse du continu; voir note 2). En résumé:

• Une flèche C→D dans C  implique : I1< I01≤ Im;
• Une flèche D→C dans C^op implique : I01=I'm <IR≤ Im.

Là encore, malgré la volonté de "symétriser" tous les concepts mathématiques, la construction se fait pas à pas, et nous en relevons ici les traces.

Classe d'équivalence

Soit une catégorie C et un objet C dans celle-ci, on peut définir une catégorie C/C dont:

• Les objets sont des morphismes de codomaine C
• Les morphismes entre objets f et g (avec f: D→C et g: E→C) forment un triangle commutatif :

- Ton histoire n'est pas claire: tu me dis d'une part que les morphismes de C/C opèrent sur certains morphismes de C, et ton schéma indique un morphisme h entre deux objets de C !

- Il y a effectivement de quoi s'y perdre, et je reconnais avoir eu du mal à entrer dans cette définition un peu sibylline de Mc Lane. Je suis donc revenu à Lawver, plus didactique dans "Conceptual Mathematics" pour m'y retrouver.

Mais, même si l'explication est simple, on définit ici comme là le morphisme entre "objets" de C/C (i.e.: des morphismes de C  ) par un autre morphisme entre objets de C (i.e.: entre domaines de morphismes ayant même codomaine C). Ce qui manque ici, pour avoir une expression directe d'un "morphisme de morphismes", c'est le concept de "foncteur".

- C'est un peu mettre la charrue avant les boeufs, non?

- Au contraire, le mécanisme précède la formulation du concept, et pour reprendre ta métaphore, le principe du mouvement (tes boeufs), précède le concept (ta charrue). Les présentations de Mc Lane, comme de Lawvere, respectent la genèse progressive des concepts.

Je voudrais souligner la symétrie qui se repère entre la façon de construire le sous-objet et la classe d'équivalence, vu comme un "sur-objet", d'ailleurs C/C se dit "C sur C".

• Sous-objet en I01 rapporté à l'objet en IR avec I01 <IR≤ Im 
• C/C en IR rapporté à C en I01 avec I'm=I01 <IR.

Tu vois la symétrie entre le regard global, ex post de Im  porté sur le sous-objet et le regard local, ex ante de I'm porté sur la classe d'équivalence.

Ouf ! Nous en arrivons enfin au foncteur.

Un foncteur entre deux catégories C et D est une opération F qui:

• À tout objet C de C assigne un objet F(C) de D   
• À tout morphisme f de C  assigne un morphisme F(f) de D      

Tu remarqueras que là où le morphisme s'intéresse à un mouvement pourtant sur des "objets" (I.e.: des éléments synchroniques), ici, le foncteur opère sur des "mouvements" (i.e.: en conjoignant objets synchroniques et flèches diachroniques), ou plus exactement: il se situe à un niveau Imaginaire où le mouvement lui-même est représentable (donc objectivé ou réifié).

Le foncteur, qui s'écrit F: C →D  reprend les 4 opérations qui nous ont permis de définir un morphisme (voir #1), et respecte domaine, codomaine, identité et composition. 

1. F(d₀(f)) = d₀(F(f))
2. F(d₁(f)) = d₁(F(f))
3. F(1_C) = 1_F(C)  
4. F(f°g) = F(f)°F(g) si ceci a un sens

Faisons le lien avec nos classes d'équivalence précédentes: soit une catégorie C , avec C un élément de C, et un foncteur F: C/C→C.

Il y a un glissement sémantique concernant un morphisme f  de C :

• f est un morphisme de C ;
• Les "objets" de C/C sont des morphismes f: D→C de C; c'est ce que nous venons de voir;

Maintenant comment le foncteur F: C/C→C traite-t-il nos morphismes ? Voyons-le sur la condition 1/ portant sur le domaine de F:

• F(d₀(f)) : il s'agit de traiter l'élément d₀(f) de C/C; c.-à-d. le domaine d'un morphisme f: D→C de C. (i.e.: D);
• d₀(F(f)) : nous parlons ici du domaine du foncteur F: C/C→C.; autrement dit du morphisme f vu comme objet de C/C domaine de F.
• F(d₀(f)) = d₀(F(f)) signifie que l'on rabat le morphisme f sur son domaine grâce à ce foncteur : Ff =d₀f !

Très sincèrement, j'ai mis deux jours à tourner autour de ce que Mc Lane écrit en une ligne; et je n'ai pas fini de le ruminer !

- As-tu atteint ton niveau de Peter?

- J'espère que non ! J'attends de me réveiller demain en trouvant tout ceci absolument évident à la relecture. C'est pourquoi j'atteste ici de mes difficultés à comprendre ce dont me parle Mc Lane, pour m'en souvenir si j'arrive à dépasser ce moment d'incertitude !

Je retrouve ici mes difficultés personnelles à traiter indifféremment les objets comme des mouvements et des mouvements comme des objets. 

- Mais à quel niveau Imaginaire sommes-nous?

- C'est toute la question. 

• Un morphisme entre I1 et I01 est représentable en I01;
• Une catégorie est au minimum au niveau I01, à cause un morphisme identité, qui permet de monter tout objet, même en I1, jusqu'en I01;
• Une catégorie duale C^op implique d'inverser les flèches et donc d'être située en IR;
• Pour constituer des sous-objets d'un objet, il faut nécessairement que les parties soient au minimum en I01 et l'objet en IR;
• À l'inverse, un sur-objet (ou classe d'équivalence) se constitue en IR à partir d'un objet en I01.

Maintenant un Foncteur traite des objets et morphismes d'une catégorie vers une autre, et l'on pourrait dire qu'il est représentable en I01.

- Que fais-tu des foncteurs contravariants G: C^op→D ?

- Effectivement, si l'on inverse les flèches des morphismes, on est porté en IR.

- Je te sens gêné?

- Oui, à cause de la définition de l'objet classifiant en I01.

Jusqu'ici, nous n'avons pas eu de difficulté à définir la logique comme décrite en I01, à partir de l'objet final (*) en I1. Il s'agit de la logique de premier ordre, la plus élémentaire, celle dont nous nous servons usuellement, avec le principe du tiers exclu dans la catégorie des ensembles (Ens). Mais tu sais qu'il est possible de définir d'autres logiques, par exemple à partir de la catégorie des graphes (Grap), après avoir assimilé un morphisme entre I1/I01 à une flèche en I01, et défini un autre objet discriminant à partir de là.

Bien, mais ensuite, il est envisageable de passer de la catégorie Ens à Grap pour passer d'une logique à une autre, à l'aide d'un foncteur.

Or la possibilité d'un va-et-vient entre les deux implique la nécessité d'y arriver "par le haut", autrement dit à partir de IR, vers I01. Le concept général de "logique" serait de niveau IR, d'où découleraient des "logiques particulières" repérables, incarnées, en I01. Le passage IR=>I01 marquant une sorte de brisure de symétrie dans l'idée de "logique", cette gymnastique ferait dériver toute "logique" de la "topologie"... Ce qui demande réflexion (Note 8).

À cette réserve près, l'idée qui se dégage de tout ceci c'est une montée imaginaire :

• Morphisme en I01:
  • Concept synchronique I1 sur lequel porte le mouvement;
  • Concept diachronique de flèche du morphisme entre I1/I01.
• Foncteur en IR:
  • Catégorie en I01, sur lequel porte la transformation,
  • Application entre I01/IR.

Cette montée, nous l'avons vu avec le foncteur F: C/C→C, écrase complètement toute distinction de nature entre concepts synchroniques et diachroniques, par où s'impose leur relativité générale, et une perte concomitante de l'aspect discret de notre contact au Réel. Mais de ceci, nous avons déjà parlé (voir "L'impossibilité d'une théorie unifiant relativité et mécanique quantique").

Il ne nous reste plus qu'à entrer dans le vif du sujet en essayant de comprendre comment manipuler ces foncteurs.

Bonne méditation !

Hari.

PS:

Je remouline tout ceci en vu de ma présentation du 12/06 au CLE.

• Voir "Présentation du 12/06 au CLE"

Note 1

L'enchaînement des applications se lit de droite à gauche, pour que l'écriture garde sa cohérence.

Note 2

Ici, je ne distingue pas Ik= Im et Ik< Im, pour me focaliser sur notre sujet, sans trop me disperser. Pour mémoire :

• Lorsque Ik=Im, le Sujet est en position de percevoir le mouvement qui lui fera pleinement "prendre conscience" et se "Représenter" le concept.
• Strictement parlant, Im ne "maîtrise" le concept propre à Ik que lorsque Ik< Im , c.-à-d. en position ex post.

Le passage Ik=Im => Ik< Im, est marqué par la double inversion d'un concept en Ik-1 auquel on adjoint le complément dont on prend conscience dans un recul diachronique (voir "Le mythe de la potière jalouse").

Typiquement:

• I1=Im => I1< I01=Im :
  • Im prend conscience de l'objet ( jeu du fort/ da)
  • Axiome de choix
• I01=Im => I01< Im=IR :
  • Im prend conscience de son image I'm/ Im (stade du miroir)
  • Approche duale locale/ globale
• IR=Im => IR< Im=I# :
  • Im se repère dans un espace sans concept de distance
  • Hypothèse du continu
• I#=Im => I#< Im=I0 :
  • Im prend conscience de la conservation d'un volume d'eau
  • Volume et mesure.

Pour les stades de développement de l'enfant voir : "L'épistémologie génétique de Piaget".

Note 3

J'écris IR ≤ Im  car le mécanisme est en place avant même que j'ai identifié formellement la caractéristique de IR avec l'hypothèse du continu (voir en détail Note 2).

Note 4

J'ai ce moyen mnémotechnique pour m'y retrouver :

• Mono : g et h sont avant f, la pointe supplémentaire de la flèche   ↣ est à gauche et la simplification sur f est  à gauche : f°g=f°h;
• Épi : g et h sont après f, la pointe supplémentaire de la flèche ↠ est à droite, et la simplification sur f est à droite: g°f=h°f.

Note 5

Cette différence d'approche est absolument fondamentale, comme nous l'avons déjà vu à plusieurs reprises, par exemple dans la construction de N.

• Soit en I01, à partir d'une répétition de morphismes portant sur l'objet final en I01:  (*)→{*} et donc sur un mode multiplicatif (succession temporelle de morphismes);
• Soit en IR, à partir de l'objet initial { } en I0, (i.e.:  IR< I0) à l'aide d'une série de co-morphismes cernant l'objet référé dans une série de cribles de plus en plus larges, englobants: { }, {{ }}, {{{ }}} et cette fois-ci sur un mode additif, spatial.

La répétition de l'action entre I1 et I01 permettant de construire N en I01 est indéfinie et, proche du Réel, elle porte en elle quelque chose de "virtuel". Cette construction, jointe à l'idée "d'objet" et à l'axiome de choix déplait aux mathématiciens. La même limite se retrouve sur Z. 

En revanche, une construction en IR à partir du vide, permet de construire non seulement N, mais également  de construire R comme une suite toujours infinie mais cette fois-ci bornée (on peut faire une bijection entre R et l'intervalle [0;1]). Ce qui nous ramène à notre discussion sur Cantor (voir 'Nombres cardinaux et ordinaux")

Elles sont là : [0;1], les parois de notre garage hermétique !

Note 6

De ce point de vue, la présentation de Lawvere, à partir des éléments de l'objet pour définir le morphisme A→B n'est pas totalement satisfaisante. Car son approche est implicitement d'ordre "topologique", alors que "Conceptual Mathematics" s'arrête aux topoï élémentaires, autrement dit au niveau logique I01. 

Ce qui explique a posteriori mes prises de tête pour comprendre les concepts de section et rétraction, mêlant morphismes et co-morphismes, ce qui est impossible entre I1 et I01 ! Il faudra que je reprenne en particulier : "Choix et détermination" ! 

Note 7

J'insiste lourdement sur ce renversement de préséance entre < et ≤, car j'y vois la marque d'une rupture entre une logique, fondamentalement "discrète" (i.e.: "quantique) et une topologie fondamentalement "relativiste" (i.e.: avec la dualité local/ global).

Note 8

Cette réflexion sur la "décohérence" renvoie à un fil de discussion déjà très ancien, que l'on peut suivre depuis cet article: "intrication Symbolique/ décohérence Imaginaire" jusqu'à celui-ci: "Émergence - décohérence".

Par ailleurs, l'idée générale de "logique" comme extension de notre logique binaire, peut être vue comme l'émergence d'un concept, impliquant la montée du Sujet dans le passage I01=>IR. Cette émergence serait alors le fruit de la double inversion du concept de logique binaire (voir Note 2 ci-dessus) : la possibilité d'une logique non-binaire vient de la négation de cette dernière (i.e.: non-choix du principe du tiers exclu), cette négation étant le moteur de cette montée.

La rencontre entre le fruit d'une émergence et celui d'une décohérence marque la prise de conscience (la mienne en l'occurence) de l'objet "logique"; à partir d'un mode de pensée "topologique".

Par ailleurs, on voit se développer une certaine problématique attachée à la "répétition" des saut diachroniques: 

Entre I01 et IR:

• Le premier saut permet de représenter R et le second de représenter C;
• et dans la répétition, nous perdons la notion de successeur.

Entre I1 et I01:

• Dans le premier nous développons la logique binaire (avec l'objet classifiant de Ens);
• Ensuite en réifiant la flèche du morphisme, nous définissons Grap et la logique non binaire en perdant le principe du tiers exclu.

Comme si la "radicalité" de la coupure entre niveaux ne s'acquérait qu'avec la répétition, et à partir de 2 sauts...

Ça me fait penser à Corto, le chien de mes amis, qui avait interdiction de monter sur le canapé. Il s'affalait comme il le pouvait sur ledit canapé tout en laissant traîner une patte par terre, pour montrer qu'il était très obéissant !

Relecture du 04 juin 2019

En relisant ce texte, après avoir développé une vision "régressive" de I01, avec le concept de tribu hérité de la théorie de la mesure (voir "présentation au groupe de travail CLE"), et en repensant à l'approche développée par Jean Bénabou, je suis moins sûr de la nécessité de l'étagement que je développe ici pour le morphisme.

Après tout, une fois que j'ai pu écrire de droite à gauche, il est naturel d'envisager la possibilité d'écrire de gauche à droite, ce qui conduit à dire que la catégorie Ens et même Graph sont toutes deux entièrement imaginables en I01.

La nécessité de distinguer entre concept synchronique et diachronique se retrouverait alors au niveau des foncteurs, quand Jean Bénabou distingue entre :

• "foncteurs projectifs" de type diachronique: renvoyant une fibre sur sa base 
• "foncteurs cartésiens". de type synchronique. L'ensemble des foncteurs cartésiens ayant même codomaine déterminant un "feuillet" d'une catégorie feuilletée.

Je garde ce texte comme une étape de ma réflexion: ce que j'ai pu imaginer, dans une pensée purement immanente, en passant simplement de I1 à I01. Ma relecture étant une réflexion après coup, me fait voir à présent I01 comme un espace dégénéré, privé du principe de continuité de IR.

L'évolution de mon point de vue tient à ce qu'en I01, bien que d'une façon dégénérée (avec I'm=I01), je garde encore la possibilité d'une vision duale I'm<Im et donc d'une vision topologique de I01. Hypothèse que je n'envisageais pas à l'époque en instaurant la bascule logique/ topologie en IR.

Je remouline tout ceci en vu de ma présentation du 12/06 au CLE.

• Voir "Présentation du 12/06 au CLE"

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Équivalence

Bien entendu tout ce paragraphe tombe un peu "à plat" si je puis dire, dès que je ramène la possibilité d'une approche topologique en I01.

Cependant, on pourrait voir ce concept d'équivalence (en I01 maintenant) comme la trace de ce que développe Jean Bénabou: ici l'équivalence entre morphismes serait la dégénérescence d'une équivalence entre foncteurs cartésiens ayant même codomaine. Je le laisse à la lecture pour montrer le parallèle entre les deux cheminements de pensée. Retour.