Différence synchronie /diachronie et théorie des catégories #1

- Abandonner toute référence à Abellio m'a permis de radicaliser la différence entre synchronie et diachronie, ce qui me ramène à la théorie des catégories.

- Tes efforts pour exprimer ta propre démarche à partir de la notion de "morphisme" n'ont d'intérêt que pour toi !

- Oui et non, car nous avons vu maintes fois qu'en cherchant mes mots, j'ai été amené à réviser ma façon de penser. Chaque obstacle étant un symptôme à identifier, analyser puis résoudre, comme dans une analyse, tout simplement. 

Or, ici et maintenant, j'ai enfin assimilé que nous devons partir du mouvement pour élaborer une théorie. C'est ce que Piaget nous montre dans le développement de l'enfant, c'est ainsi que Poincaré introduit la géométrie, sans compter Klein pour qui tout est question de symétries. Il faut donc m'habituer à voir l'objet comme une sorte de repère imaginaire  que j'utilise pour baliser le déroulement de mes pensées. Un peu comme l'on utilise en mer une suite d'amers pour définir sa route. L'important n'est pas le point fixe, mais la route à suivre. Cela suffit à me conforter dans ma volonté d'utiliser la théorie des catégories (note 1) pour exprimer au mieux ma démarche.

- Soit, mais en quoi as-tu évolué ?

- Rappelons d'abord ce que je garde: l'idée de "niveaux synchroniques" distincts, hiérarchiquement ordonnés, entre le domaine et le codomaine d'un morphisme. C'est ça le coeur de l'exercice, qui me permet ensuite d'introduire l'image du Sujet en Im dans sa propre représentation et m'amène à l'idée d'une différence fondamentale entre rationalité logique et topologique, ou plus précisément, d'une régression de l'imaginaire, de topologique => logique à l'approche du contact avec le Réel.

À partir de cette base, il me faut faire une révolution copernicienne: jusqu'à présent je définissais la différence synchronie/ diachronie par rapport à des niveaux synchroniques (Ik et Ik+1) stables, et le processus diachronique comme le saut portant de Ik à Ik+1 or, en relisant l'introduction de Mc Lane dans "Sheaves in geometry and logic", résumant très brièvement les rudiments de la théorie pour son propos, je m'aperçois qu'il s'intéresse plus aux fonctions ou flèches des morphismes qu'aux objets sur lesquels elles s'appliquent. Autrement dit, il met en avant l'aspect "diachronique" ou dynamique du concept de base de la théorie: le "morphisme" (note 1). 

Ceci me conforte dans l'idée à laquelle je m'étais arrêté qu'à un niveau synchronique donné, on ne puisse exprimer que des tautologies. Fondamentalement, en Ik ne peut s'exprimer qu'une idée d'égalité, d'équivalence, de convergence ou divergence; l'objet ou les objets n'étant que les points d'application de celles-ci. Dit d'une autre façon: il me faut veiller à exclure toute idée de "mouvement" d'un concept synchronique, ce que nous avons fait en déconstruisant la "structure absolue" d'Abellio.

- Tu as malgré tout des "objets" présentant une certaine structure, par exemple des notions d'ensemble, groupe, anneau etc.

- Je crois qu'il faut partir en se vidant la tête de tout ceci, pour respecter l'esprit d'une démarche minimaliste, en ayant la certitude de retrouver nos petits à l'arrivée. C'est l'épochè chère au philosophe qui sommeille en chacun de nous.

Suivons donc Mc Lane dans sa présentation.

- Pourquoi Mc Lane et non Lawvere ?

- Parce qu'il nous présente le film en accéléré, tout entier tourné vers son objectif, à savoir nous parler de faisceaux (sheaves en anglais), ce qui nous permet d'aller à l'essentiel.

Or, l'accent mis sur l'aspect "dynamique" du morphisme se remarque tout de suite, dans la définition qu'il en donne: 

Mc Lane indique qu'à un morphisme f sont associés deux fonctions dom (f) et cod(f) appliquant le morphisme respectivement à l'objet domaine et codomaine. Tu vois déjà là que les objets sont seconds par rapport au concept de morphisme. Il opte pour l'écriture dom(f)= d₀(f) et cod(f)=d₁(f) (Note 2).

À ce premier niveau de définition des concepts, nous retrouvons les difficultés que nous avions déjà soulignées concernant l'identité (voir "entropological approach of catégories # 3"), et d'une façon générale la nécessité d'écrire a posteriori toute relation entre le domaine et le codomaine, puisqu'ils ne sont pas au même niveau Imaginaire (voir #4), je ne reviens pas dessus.

- Mais si, revenons-y ! Pourquoi t'entêter sur ce feuilletage en "niveaux" qui n'a rien de mathématique ?

- Parce que je tiens à l'idée d'une dégénérescence des concepts et de nos processus mentaux lorsque l'on se rapproche du Réel. C'est l'essence même de notre démarche, et je tiens à en garder l'idée, tout en adoptant le langage des catégories. Mieux: j'espère caractériser la dégénérescence en question en analysant de quelle façon les mathématiciens discutent des axiomes qui fondent la théorie et de quelle façon ils s'articulent entre eux.

- Soit, c'est ce qui t'as conduit à identifier les niveaux I1 /I01 /IR /I# /I0; mais revenons à ta nouvelle caractérisation d'un "niveau synchronique". En suivant ton hypothèse, on ne pourrait y exprimer qu'une "tautologie" ou un "point de contact", toutefois, Mc Lane embraie directement sur la notion de "successeur" à la page suivante. 

- Dans mon approche, au plus proche du Réel, il n'y a qu'un principe de répétition, c'est-à-dire le repérage d'une répétition de sauts diachroniques. C'est même la base de toute l'approche.

Reprenons tout depuis le début :

• 1/ Le premier niveau imaginable, c'est I1, avec l'objet le plus élémentaire (*) lorsqu'il surgit d'un Réel inimaginable, c'est le choc du Réel ou la "tûchè" Lacanienne, avec R <I1=Im <DM (DM, c'est moi écrivant ce constat);
• 2/ Pour "percevoir" (*), il faut que le Sujet "rapporte" cet objet à lui-même en Im, avec, donc : R <I1 <Im <DM (à partir de là, on peut éluder la présence de DM);
• 3/ Pour "concevoir" l'objet (*), Im doit prendre du recul et nous savons que le palier suivant ne peut être que I01; donc : R <I1 <I01 = Im. Nous avons vu que dans cette position, le Sujet conçoit que l'objet puisse exister hors de sa perception immédiate, malgré son absence. Mais nous en restons à l'enfant jouant au fort/ da.
• 4/ Pour "prendre conscience" de l'objet (*) sur un mode rationnel, le Sujet doit nouer un percept et un concept (voir J.-P. Changeux) : R <I1 <I01 <Im. Et nous avons vu que :
  • L'objet est identifié : (*) → {*} (il se conserve)  (voir ici)
  • L'objet est rapporté à un ensemble de potentialités, marquant une symétrie, ici la plus élémentaire est la dichotomie (là/pas là), représentée par l'objet discriminant le plus élémentaire {{*};{ }};
  • L'indétermination tient à mon jugement, ou mon choix :
    • (*) → {*}
    • (*) → { }
  • Le triptyque précédent renvoyant à Emmy Noether.

Maintenant voyons comment l'on passe de la répétition des sauts diachroniques ("l'automaton" de Lacan) à l'idée de successeur.

1. R <I1=Im < DM : le Sujet ressent juste le contact du Réel, dans l'instant, sans notion de temps;
2. R <I1 <Im : le Sujet perçoit la cause du trauma, toujours dans l'instant;
3. R <I1 <I01 = Im : le Sujet rapporte l'impermanence de la cause à sa propre permanence; il prend conscience de la répétition des sauts I1/ I01;
4. R <I1 <I01 <Im : le Sujet peut réifier chaque occurrence d'un saut diachronique : il fait des décomptes, et transforme une répétition temporelle (entre I1/I01) en succession spatiale (en I01).

- Autrement dit le "temps" lui-même devient un "objet"?

- Oui, mais tu remarqueras le décalage dans la prise de conscience.

- Il perçoit la cause, donc l'objet, avant la répétition ?

- Non: tu gardes encore une approche "ensembliste", focalisée sur l'affirmation de l'existence d'un "objet en soi", mais l'approche catégorique te permet d'aller plus loin et de déconstruire ton "objet" pour le considérer comme résultant de la perception que j'en ai, un "objet pour moi".

Lorsque le petit Ernst joue au fort/da, ce qu'il expérimente, c'est d'abord la répétition d'un mouvement non abouti (i.e.: (*) → ), il en déduit la permanence, ou l'existence de l'objet, même hors de sa vue, à force de répétitions (note 4). La conceptualisation ou identification de l'objet (i.e.: (*) → {*}) se fait donc, en I01, a posteriori, le Sujet en position ex post par rapport à son expérience.

- D'accord, tu nous a déjà dit tout ceci, mais tu ne répond pas à ma question.

- C'est vrai. Je pense que pour représenter ses expériences, le Sujet dois structurer sa propre représentation sous forme spatiale.

- Je ne comprends pas.

- Notre expérience visuelle nous habitue à situer les objets dans un "espace", avant même de savoir parler, avant que l'enfant apprenne à se "latéraliser". L'organisation temporelle vient après, en réutilisant des outils déjà acquis. Spontanément, dans notre culture occidentale tout du moins, lorsque l'on demande à un enfant de reconstituer le déroulement d'une histoire en plaçant des images dans leur ordre chronologique, il les place de gauche à droite, puis de haut en bas, sans se poser de question sur la signification de l'espace où il déploie son histoire.

Je dirais que le mathématicien, en écrivant ses équations fait de même: il utilise pour écrire sa logique un espace qu'il concevra plus tard en géométrie... Pour parler de la suite des entiers naturels (imaginables en I01), il écrit sur une surface plane a priori continue (représentable en IR).

De ce point de vue, on pourrait dire que notre expérience de la succession temporelle se repère par une différence droite/ gauche dans la ligne d'écriture. Nous, Français, y sommes assez habitués: dire "Paul aime Jeanne" ne signifie pas la même chose que "Jeanne aime Paul".

Il me faut donc amender mon approche initiale pour en tenir compte.

• Lorsqu'à un niveau synchronique donné Ik de mon Imaginaire je représente une pure tautologie entre deux objets A et B repérés au niveau inférieur Ik-1, alors cette tautologie implique l'indifférence ou l'équivalence entre deux écritures : A=B <=> B=A;
• Maintenant, si je dois faire un "mouvement" quelconque pour rapprocher deux objets l'un de l'autre, et que ce mouvement garde un sens, alors il y a rupture de la symétrie gauche/ droite dans le fil de l'écriture. Exemples:
  • La différence domaine/ codomaine se traduit par une dissymétrie dans l'écriture  A → B;
  • L'action de A sur B s'écrit AxB et le nombre de morphismes possible s'écrit B^A, et non l'inverse;
  • L'enchaînement des applications : g°f ≠ f°g

Pour en revenir à la notion de "successeur", raisonnons avec notre objet final (*) en I1: (voir ici)

• Premier saut I1 => I01 : je repère la trace de (*) par une marque {1}
• Second saut  I1 => I01 : je repère la trace de (*) par une marque {2}
• Je garde la trace de leur succession en écrivant {2} à la droite de {1} : c.-à-d. : {1} {2}. Pour la facilité d'écriture, je peux mettre une copule quelconque entre les deux : {1};{2} ou {1}/{2} ou {1}<{2}, et de fil en aiguille je construis l'ensemble N dans un processus indéfini (note 3); d'où la question du passage du virtuel (le mouvement dans son actualité) à la clôture du potentiel (sa représentation).

Tu vois que nous restons cohérents dans notre approche:

• L'objet est conceptualisé en I01 s'il est doté d'une symétrie (ici gauche/ droite);
• L'objet s'actualise et régresse au niveau inférieur (il est perçu parce qu'observable)  par une rupture de symétrie; 
• Le mouvement diachronique I1=> I01 implique une dissymétrie gauche/ droite de sa représentation. Exemples :
  • Successeur : <
  • Application : →

- Tu reviens donc en arrière ?

- Disons que j'ai nettoyé autant que je l'ai pu cette notion de "niveau synchronique". Cet exercice nous permet de confirmer l'importance du triptyque d'Emmy Noether: conceptualisation d'une quantité conservée en Ik+1 caractérisant un objet perçu en Ik grâce à une "symétrisation" de ses potentialités en Ik+1; avec une indétermination liée au passage Ik/ Ik+1.

Ceci dit, nous pouvons revenir au texte:

- Comme tu le vois, Mc Lane définit ≤ par un morphisme rapportant l'objet p à l'objet q, et la subordination de p à q est marquée -et le mot me semble important- par la projection dom(≤) ou cod(≤) soit sur le domaine p soit sur le codomaine q. Autrement dit, la succession est bel et bien repérée par ce que nous identifions comme une différence diachronique  à franchir entre deux niveaux synchroniques.

- D'accord, mais il serait bon d'avancer, car si tu écris trois pages pour commenter deux lignes de son texte, tu n'es pas sorti de ta lecture !

- Je te laisse méditer là-dessus et demain nous attaquons le dur.

Hari

Note 1

Je te conseille cette vidéo qui montre un débat sur ce thème, avec Jean Benadou à la manoeuvre. "Saad Abou-Jeanoudé et Jean Benadou")

Note 2

Manque de chance pour nous : il eût été plus logique de noter l'inverse; le dom(f) étant plus proche de l'objet final que cod(f), et inversement cod(f) plus proche de l'objet initial que dom(f))...

À moins de le noter comme moyen mémo-technique: la hiérarchie entre les indices renvoyant à celle des niveaux Imaginaires : I_dom <I_cod. 

Note 3

Je n'y reviens pas ici, mais la construction de N à partir de ( ) se fait sur un mode additif, lié à la topologie, quand ici nous sommes sur un mode multiplicatif, et une approche logique à partir de (*). Se reporter aux nombreux billets où je traite du sujet.

Note 4

À force de répétitions ET après la création d'un concept inimaginable antérieurement, qui fixe en arrivant à la conscience, le niveau en question. Voir en particulier la forme canonique ("La potière jalouse") et l'utilisation que j'en fait dans différents billets, en particulier pour la création du niveau I01.

Relecture au 04 juin 2019

Je relis ce billet pour reprendre ma lecture de Mc Lane là où j'en étais resté, après avoir digéré un peu tout ceci, ce qui a donné mon billet pour une éventuelle présentation au groupe CLE (voir "Présentation au groupe de travail de Logique Catégorique").

J'aurais deux petites mises au point à faire, suite à mes réflexions depuis l'écriture de ce texte:

1/ Principe de conservation d'Emmy Noether:

J'ai écrit plus haut que le principe de conservation était lié à l'identification de l'objet.

Non, en fait il est lié à l'appréhension de ses "potentialités", dont une seule, son identité (voire son existence) est effective. Ma présentation au CLE est plus claire à ce sujet.

2/ Discussion sur le successeur:

Je n'avais pas encore approché la description de I01 par une approche régressive, avec la notion de tribu utilisée dans la théorie de la mesure.

Si Mac Lane introduit directement ≤ au lieu de <, c'est précisément parce que sa vision est de cet ordre.

En présentant l'application f → comme une injection de p dans q, il est dans une vision topologique des ensembles, avant même d'avoir défini l'espace où étaler les objets domaines et codomaines pour les appairer.