Le Sujet à livre ouvert - Représentation du triptyque R/I/S

12 Mars 2020

J'ai terminé mon article précédent (voir ici) en utilisant une analogie que je vais développer ici pour m'y référer commodément, sans avoir à alourdir mes articles à venir de trop nombreuses redites.

Il s'agit de présenter aussi simplement que possible l'usage que je fais du triptyque Lacanien Réel/ Imaginaire/ Symbolique, sans trop me soucier d'orthodoxie en la matière (les querelles entre Lacaniens étant aussi nombreuses que stériles).

Ce point de départ Lacanien se justifie par ce qui suit :

Tout d'abord, l'homme est un être de langage. C'est dire que sa pensée s'articule comme un langage.
Ensuite cette pensée forme des concepts, qui s'articulent entre eux dans une aire de jeu que l'on appellera l'Imaginaire du Sujet, cet espace étant borné par le Réel d'une part et le Symbolique de l'autre.
Le Réel résiste à nos désirs, ou nous surprend, c'est ce qui n'est jamais complètement représentable, ce qui nous déborde ou nous traumatise. En bref, ce qui s'oppose à nous.
Le Symbolique, c'est ce dont nous sommes issus : en bref c'est la culture qui nous conditionne.
Cet Imaginaire est structuré en niveaux superposés, comme les feuilles d'un livre.

D'où l'idée de cette analogie avec un livre dans lequel :

La 1^érede couverture serait le Réel,
Les pages du livre seraient l'Imaginaire,
La 4^ème de couverture serait le Symbolique.

Par commodité, j'écrirai :

R pour "Réel",
I pour "Imaginaire",
Chacune des pages de cet Imaginaire est repérée par un indice k, avec la convention que la page I_k+1 suit la page I_k,
S pour "Symbolique".

À partir de là, il convient de comprendre de quelle façon le Sujet "prend conscience de lui-même". Dans notre métaphore, il découvre son propre Imaginaire au fur et à mesure qu'il lit ce livre le représentant. Ce qui nous conduit à situer son état de conscience actuel, à l'aide d'un page volante ou marque-page Im glissé après la dernière page lue.

En suivant J. P. Changeux nous dirons que le Sujet prend conscience d'un objet quelconque lorsqu'il rapporte un percept, montant du Réel, via ses yeux, ses oreilles, ou tout autre sens, à un concept, déjà acquis et présent dans son cortex.

La dernière page en dessous de ce marque-page indique son "niveau de conscience", ce qui est au-dessus formant, pour nous qui tenons le livre en main, son "inconscient", autrement dit ce qui échappe au Sujet dans la posture indiquée par le marque-page.

Comme tu le vois, le Sujet ne peut utiliser pour se représenter lui-même que le vocabulaire à sa disposition à cette étape de sa lecture, c'est-à-dire, les premières pages du livre, celles qui précèdent le marque-page Im.

Pour suivre l'évolution psychique du Sujet, il nous suffit maintenant de l'accompagner dans sa lecture et de "tourner avec lui les pages" de ce livre, de la première, jusqu'à Im.

Dans ce qui suit, nous nous intéresserons à la possibilité d'écrire ce livre à l'aide du langage mathématique. Nous avons vu que dans ce cas, notre livre comporte 5 pages, qui se succèdent dans l'ordre : I1<I01<IR<I#<I0. J'ai déjà fait une présentation assez détaillée de cette structure, que l'on peut retrouver par exemple dans l'article "Imaginaire et chakras".

Mon but ici n'est pas de revenir sur la définition de chacune de ces pages mais d'expliquer de quelle façon la conscience du Sujet évolue au fur et à mesure qu'il tourne les pages du livre. Je m'appuie pour ce faire sur les étapes du développement de l'enfant, voir à ce sujet l'article "L'épistémologie de Jean Piaget".

Dans notre analogie, l'idée générale est que la page 2 sert à encadrer ce que j'écris sur la page 1. Par exemple la grammaire et l'orthographe écrites en page 2, limitent les possibilités d'écrire un texte en page 1. Le linguiste distinguera le langage en page 1 du métalangage en page 2, et par récurrence, chacune des pages suivantes comme un métalangage de la précédente.

Pour caractériser cette idée de la façon la plus générale qui soit, il faut que je parte d'un concept écrit sur la dernière page du livre, pour en suivre la dégénérescence en régressant jusqu'à la première, ce qui me garantira ensuite la cohérence de ma description lorsque je ferai le chemin inverse.

C'est ici qu'intervient la figure quasi légendaire d'Emmy Noether, mathématicienne, imposée par le grand David Hilbert comme professeur à Göttingen en 1915. Celle qu'Einstein décrira comme "Le génie mathématique créatif le plus considérable depuis que les femmes ont accès aux études supérieures".

Ce qui nous intéresse, c'est le triptyque qu'elle a défini entre "symétrie/ invariant/ incertitude".

Pour te la faire courte, toutes mes réflexions m'ont conduit au résultat suivant :

Dans le sens de la descente, lorsque je passe d'un niveau Imaginaire quelconque, disons k au niveau inférieur, k-1, je constate une brisure de symétrie dans un concept de niveau k,
À l'inverse, en passant de k-1 à k, j'utilise un principe de symétrie, d'où je tire un nouvel "objet" au niveau k. Autrement dit, j'introduis un invariant,
Le passage lui-même entre ces deux pages est entaché d'indétermination.

1/ Ouvrons notre livre à la première page.

Nous y trouvons l'objet le plus élémentaire des mathématiques, qu'en théorie des catégories comme en théorie des ensembles on appelle un "singleton" que je note souvent (*), ou "objet final", qui se "présente" comme un simple point sans dimension, dont seule d'ailleurs nous importe l'existence.

Et notre marque-page, juste au-dessus ne peut que rapporter à lui-même ce dont il prend conscience. À ce stade la pensée du Sujet n'a pas besoin d'être articulée pour s'exprimer.

C'est le cri du bébé auquel on coupe le cordon ombilical, et que l'on force à respirer en se déchirant les poumons. C'est le caillou dans la chaussure qui focalise toute l'attention du maître de Jacques le Fataliste. C'est la conscience d'un trauma, du au choc du Réel.

2/ Tournons la deuxième page.

Dans la première phase de son développement, l'enfant comprend que l'objet subsiste, même lorsqu'il disparaît à sa vue. Il apprend, en jouant avec, que le nom qu'il lui donne pour le "représenter" reste à sa disposition dans son Imaginaire, quand bien même cet objet disparaît à sa vue.

Là encore j'abrège pour en arriver à ce que le mathématicien appelle "l'objet discriminant".

On identifie notre singleton précédent à un ensemble muni d'un seul élément, que je représente souvent par {*} ;
Les parties de cet ensemble {*} sont :
- d'une part l'élément (*) lui-même que je représente par "1";
- d'autre part ce qui reste dans l'ensemble en dehors de cet élément, à savoir " rien" que je représente par "0" ;
- Nous dirons, et c'est l'un des axiomes fondamentaux de cette page de lecture, que les parties d'un ensemble E forment un ensemble P(E) ;
L'objet discriminant est alors l'ensemble des parties du plus petit ensemble, ce que l'on peut écrire ici par {0;1}.

C'est pour ces raisons que j'ai nommé la première page "I1" et la seconde "I01".

Maintenant, et là je te demande toute ton attention, dans cette description, je me mets à la place de cet enfant en glissant le marque-page qui nous représente, lui comme moi, après la page 2 de son Imaginaire.

Je suis donc en position ex post, derrière les pages I1 et I01, et de là, je rapporte ce que je lis en page I1 au critères que je choisis ou que je comprends en page I01.

Soit je fais un lien entre mon singleton et le 1 de mon objet discriminant, ce que je peux définir comme l'application ou le morphisme identité ;
Soit je relie le singleton au 0 de cet objet discriminant, ce que je nomme la négation.

Et à partir de là, je peux faire un tas de choses.

En tout premier, je peux écrire toute la logique du premier ordre des anciens Grecs, et même celles de niveaux supérieurs en changeant d'objet final (et donc d'objet discriminant),
Ensuite je peux construire tous les entiers naturels en multipliant les passages du singleton sur la page I1 à sa représentation en page I01,
Enfin, je peux opposer l'action effective que j'actualise en I1, au potentiel des actions envisagées en I01. (par exemple choisir entre les applications identité et négation, ici 0 ou 1), ce qui me permet de construire le calcul des probabilités, la théorie de l'information, la thermodynamique statistique, et même l'entropie.

Eh bien ça, c'est ce qui définit un langage rationnel logique. D'ailleurs c'est la posture de Descartes lorsqu'il prend conscience de lui-même. En effet, en disant "je pense, donc je suis", cette existence dont il prend conscience en page 1, s'exprime en référence au constat plus général, qu'il "pense" en page 2, et le "je" en question fait la liaison entre les deux, dans la mesure où il a accès à ces deux niveaux de conscience.

Tu remarqueras que j'ai dit "rationnel logique", ce qui semble redondant tant on confond les deux notions de rationalité et de logique, alors qu'il importe de bien les distinguer.

Dire qu'un Sujet est rationnel signifie qu'il rapporte un discours à une autre lui servant de critère d'évaluation. Dans notre métaphore, il rapporte ce qu'il lit sur la page Ik à tout ce qu'il peut en comprendre, tel que défini sur la suivante Ik+1. Et notre marque-page Im situé au-dessus, indique qu'il a une claire conscience de ces 2 niveaux de discours: Ik<Ik+1<Im.
La logique quant à elle, se rapporte strictement au fait que le discours actuel en page I1 est limité aux potentialités explicitées, soit en extension, soit en compréhension, en page I01.

3/ Il nous reste maintenant à tourner la troisième page,

celle que Descartes n'a pas tournée, car il faudra attendre Évariste Galois pour le faire, et là c'est une autre paire de manches !

Le premier point c'est qu'en théorie des catégories, il y a deux objets très particuliers. Nous avons vu le premier avec Descartes qui est l'objet final, constitué d'un unique élément, son pendant est l'objet initial vide de tout élément. Puisque ne possédant aucun élément, je ne peux lui faire correspondre aucune application à partir d'un autre objet.

Pour en revenir à notre livre Imaginaire, Il s'ouvre sur l'objet final au contact du Réel et se ferme sur cet objet initial, inscrit sur la dernière page que je note pour cette raison I0, au contact du Symbolique, et comme je ne peux pas mettre mon marque-page derrière cette dernière page, sans sortir de l'Imaginaire, je ne peux pas en parler rationnellement. Nous ne pouvons avoir que Im<I0.

Tout le problème vient de l'impossibilité de "comprendre rationnellement" cet objet initial.

- Comment faire, alors ?

- C'est là qu'il faut parler de l'étape suivante du développement psychique de l'enfant qui est "le stade du miroir". C'est une étape de son développement si cruciale qu'elle pourrait sans doute être utilisée pour distinguer l'Homme des autres animaux.

Revenons à la situation précédente et imagine maintenant que la 2^ème page de notre livre soit comme un miroir. Notre marque-page reconnait dans son reflet, un avatar de lui-même, qu'il situe entre la 1^ére et la 2^ème page. Nous dirons que le Sujet dédouble son point de vue et qu'il peut à sa convenance adopter :

Soit un point de vue global, vu de notre marque-page Im, que nous avons défini comme "rationnel logique",
Soit un point de vue local, vu de cet avatar, noté I'm, plus proche de l'objet à décrire. Mais cette proximité se paye doublement.
- D'une part par la perte du cadre global ou le Sujet situe l'objet. Dans notre métaphore, l'avatar I'm n'a pas une connaissance rationnelle de la dernière page qui fait office de miroir, il est juste conditionné par des contraintes imposées par Im, dont il n'a pas conscience.
- D'autre part la vision du Sujet est inversée : sa main droite devient gauche, s'il trace une ligne temporelle allant de la gauche vers la droite sur la page 2, son avatar la verra aller de la droite vers la gauche et ce qui était vu comme lien de cause à conséquence (je suis la cause de mon image) s'inverse aussi (je deviens l'image de mon image) etc... C'est tout le développement que j'ai fait ces derniers temps (note 1)

Et bien, cette double approche globale/ locale est proprement ce qui constitue la pensée topologique.

Je voudrais insister sur ce point : cet avatar de marque-page qui définit la position locale du Sujet, voit rationnellement l'objet en-dessous de lui, comme l'objet final, mais n'a pas conscience du cadre dans lequel il évolue puisque ce dernier est défini au-dessus de lui, ni des objets au-delà, comme l'objet initial.

La distinction entre nos deux points de vue est essentielle pour comprendre si une propriété quelconque est une propriété locale d'un objet ou bien une propriété globale, relative à son repérage.

Par exemple la longueur d'une canne est une propriété intrinsèque, qui ne dépend pas de la façon dont je la manipule, mais lorsque je dis "je marche vers l'est", je prends la Terre comme cadre de référence pour décrire mes mouvements.

La distinction n'est pas toujours aussi évidente. Imagine un avatar de toi-même comme un être à 2 dimensions, se déplaçant sur une surface. La question est de savoir si tu es sur un plan ou sur la surface d'une sphère, sans possibilité de prendre de recul en 3D pour en mesurer le rayon. Ton avatar en 2D peut cependant tenter l'expérience suivante : il marche dans une direction donnée en ligne droite, ce qui a un sens pour lui, puis il tourne sur sa droite, marche dans cette nouvelle direction, tourne à nouveau sur sa droite pour revenir à son point de départ. Et bien, si la somme des angles du triangle qu'il a parcouru fait 180°, il est sur un plan, sinon, il est sur une surface courbe.

Autrement dit, la courbure d'une surface est une propriété locale, puisqu'il n'y a pas besoin d'être en 3 dimensions pour la mesurer.

Mais, pour avoir l'idée d'une telle courbure de l'espace, il faut malgré tout avoir fait un jour l'expérience de plonger une surface en 2D dans un monde en 3D, et avoir compris ce qu'est la surface d'une sphère, et c'est toute la question que pose Menon à Socrate ! (voir l'article "Le Menon")

D'où la nécessité pour le Sujet d'encadrer sa description locale de l'objet par un vision globale qui assure la rationalité de sa pensée, en la limitant aux potentialités qu'il envisage. Faute de cela il verserait dans une pensée purement mythique, ouverte sur un monde virtuel.

Il ressort de tout ceci que pour se référer à l'objet initial, vide, qui lui passe par-dessus de la tête, le Sujet ne peut adopter qu'un point de vue local, à partir de cet avatar de lui-même.

L'avatar en question ne pouvant décrire cet objet insaisissable qu'en le rapportant à des critères qu'il n'a pas définis, la rationalité du discours tient donc aux règles que le Sujet impose à son avatar en décrivant sur une 3^ème page, que j'ai nommée IR, le cadre global dans lequel il évolue, ainsi que l'objet.

Ce faisant, notre marque-page Im recule au-delà de IR; et ce recul fait monter mécaniquement son avatar I'm d'un cran, au-dessus de la page 2, lui rendant ainsi accessible la pensée logique en I01. C'est ce que les militaires appellent "avancer en tiroir".

Et comme un pêcheur adapte les mailles de son filet au poisson qu'il pêche, le Sujet va cerner l'objet initial d'aussi près que possible, en jouant sur les axiomes qu'il définit en IR et constituent à proprement parler la topologie au sens mathématique du terme. Grothendieck parle à cet égard d'une topologie comme d'un crible. Toute l'astuce est là.

En particulier, pour attraper cet objet vide, ceci suppose que le "tissu" utilisé pour le piéger (les matheux parlent "d'ouvert" ou de "boule ouverte") que ce tissu donc, soit continu.

Et l'hypothèse de la continuité est véritablement l'axiome qui distingue IR de I01.

En résumé :

Sur la première page I1, je conçois l'objet final, ou singleton (*);
Sur la deuxième I01, je construis, à force de répétitions, la suite des nombres entiers, ainsi que les nombres rationnels;
Sur la troisième IR, je construis la droite des nombres réels, avec l'hypothèse de la continuité entre les nombres, associée à l'hypothèse de leur séparabilité. Cerise sur le gâteau, je dois également, pour des raisons que je ne traiterai pas ici, poser l'existence d'un point à l'infini à l'extrémité de la droite R, ce qui paradoxalement, assure la fermeture de l'Imaginaire sur lui-même;
Sur la dernière I0, je conçois l'objet initial, vide ( ).

Faute de pouvoir appréhender ce vide ( ), je le représente par un "ensemble vide" { }, en deçà de I0, de même que je représente le singleton (*) par {*} au-delà de I1. L'objet { } ne pouvant être défini par ses éléments, faute d'en avoir, je le considère comme un "tout", que l'on peut découper en morceaux comme une tarte, et l'opération associée à l'objet initial, vide, c'est l'addition: pour reconstituer l'ensemble, on additionne les parts de tarte. (note #2)

Bien entendu, les conséquences de tout ceci sont considérables, tant en mathématique qu'en physique théorique, voire en philosophie.

- Tu ne nous dis rien de la page manquante, la 4^ème?

- Parce que je suis moins avancé dans son étude. Disons, pour fixer les idées, que c'est le lieu des principes généraux qui gouvernent notre rapport rationnel au monde, et donc en particulier les principes généraux de la physique, tels les théorèmes de Noether dont nous venons de parler, ou le principe de moindre action de Maupertuis. Je l'appelle dans mes articles I#, le # rappelant l'aire d'une surface, parce que tout ceci est lié à la notion "d'optimisation" du volume d'un objet dans une enveloppe donnée; ce qu'un enfant apprend vers l'âge de 11 ans. Mais, pour ce qui nous occupe ici, nous n'avons pas besoin de la définir plus avant.

Maintenant, je voudrais terminer ce tour d'horizon sur la caractérisation de l'automatisme de répétition:

Nous avions vu que l'itération du saut de I1 à I01, nous fait passer de l'objet final, le singleton, à N, avec le concept de "successeur", qui nous donne également la notion du temps comme une succession de tic-tac égrenés par un pendule.
Le saut suivant, de I01 à IR, nous oblige à passer du discontinu (l'ensemble des nombres entiers N) au continu (l'ensemble des nombres réels R). L'itération du saut de page nous fait passer de la droite R à la notion de Surface, ou, à l'ensemble des nombres complexes C.

Autrement dit, la répétition n'est plus de l'ordre de la succession, comme précédemment, mais de l'orthogonalité.

Entre I1 et I01, passer d'un nombre à son successeur peut se représenter comme avancer d'un pas en ligne droite.
Entre I01 et IR, nous n’avançons plus en ligne droite, mais nous tournons en rond.

Voilà ce que je pouvais dire, le plus succinctement possible, de ce livre pris comme métaphore du Sujet.

- Il y a malgré tout une question à laquelle tu ne peux pas échapper : qui tient le livre ?

- Bonne question, tu évoques en fait un paradoxe lié à la clôture de toute description, comme en a relevé Russel au sujet des ensembles. Gödel a mis un terme définitif au débat en démontrant qu'il est impossible d'obtenir une description rationnelle complète d'un discours.

Eh bien ce livre que je définis comme une représentation du Sujet en général, en tant qu'il est porteur d'un discours, ne suffit pas à me représenter moi-même en train de le manipuler.

Je suis donc amené à différencier l'auteur du livre de son lecteur, même si je suis amené à me relire, jusqu'à l'évocation du Symbolique, qui clôt mon propre Imaginaire.

Je me suis habitué à parler de l'auteur, hors du livre comme du "Démon de Maxwell" ou "DM", que les physiciens connaissent bien, ou comme le démon sur l'épaule de Socrate; et par convention, je le situais au-dessus du Symbolique du Sujet:, dans l'alignement diachronique général R<I<S<DM, ce qui implicitement le pose dans cette hiérarchie qu'il tente de décrire !

Et là encore, cela montre que je restais dans une pensée cartésienne, m'appliquant à démonter les rouages d'un mécanisme pour le reconstituer étape par étape.

- Mais où est-il, alors ?

- Tout ce qu'il faut retenir, c'est qu'il n'est pas partie prenante de sa description, autrement dit, que ce discours lui est "orthogonal". C'est dire que pour situer sa place, hors du livre, je ne peux pas me contenter de rester dans une posture "rationnelle logique", mais qu'il me faut au minimum adopter une posture "topologique", pour dire que mon DM est dans une position "orthogonale" au livre qu'il manipule.

C'est à ce repositionnement de DM que j'étais arrivé dans mon dernier article.

C'est dire que ma réflexion est loin d'être achevée, puisqu'il me reste encore une page à tourner !

Hari

Note du 28/10/2020

Voir ma relecture de cet article : "Faisons le point sur la méthode"

Note 1: Voir à ce sujet :

Note 2 :

Autrement dit, la multiplication est une opération propre à la vision de Im tournée vers l'objet final, quand l'addition caractérise la vision de I'm, dirigée vers l'objet initial.

Comme I01 est le niveau autour auquel s'initie la balance Im/I'm, c'est à ce niveau que doivent s'articuler les deux opérations produit/ coproduit, et c'est toute la discussion que j'ai développée dans une série d'articles, découlant de ma présentation du 12 juin ("Présentation au groupe de travail CLE") :

Le lecteur attentif ne s'étonnera plus alors que le calcul matriciel soit l'outil évident de la mécanique quantique, même s'il n'est plus le seul de nos jours...