Retour à Foucault : épistémè / mathesis - taxinomia

Nous poursuivons notre discussion (voir "représenter-suite") autour de l'épistémè caractérisant l'âge classique en suivant Foucault dans "Les mots et les choses".

"Ce qui rend possible l'ensemble de l'épistémè classique, c'est d'abord le rapport à une connaissance de l'ordre, on a recours à une mathesis, dont la méthode universelle est l'algèbre. Lorsqu'il s'agit de mettre en ordre les natures complexes (les représentations en général, telles qu'elles sont données par l'expérience), il fut constitué une taximonia et pour se faire instaurer un système de signes. Les signes sont à l'ordre des natures composées ce qu'est l'algèbre à l'ordre des natures simples." p. 132

Foucault définit ainsi son épistémè comme composée de deux branches mathesis/ taxinomia qu'il situe ensuite l'une par rapport à l'autre:

"Mais dans la mesure où les représentations empiriques doivent pouvoir s'analyser en natures simples, on voit que la taxinomia se rapporte tout entière à la mathesis; en revanche, puisque la perception des évidences n'est qu'un cas particulier de la représentation en général, on peut dire aussi bien que la mathesis n'est qu'un cas particulier de la taxinomia." p. 132

Ce qui le conduit à ceci:

- Un Schéma qui fait irrésistiblement penser à une transformation naturelle en théorie des catégories, non ?

- Non, nous en sommes loin ! D'ailleurs, je suis réticent à comparer des "signes" à une "algèbre".

- Pourquoi ?

- À première vue, il semble qu'il y ait là une confusion entre syntaxe et sémantique: une algèbre relève de la syntaxe, quand le signe est sémantique (voir "sémantique et syntaxe en mathématiques").

- Peux-tu développer simplement, sans me forcer à relire ce billet ?

- Je vais essayer. Prend un objet "A" en Ik et un autre "B" en Ik+1, et relie chaque élément a de A à un autre b de B, pour définir un morphisme : A⟼B. La structure est équivalente à celle d'un ensemble de phrases simples; par exemple "Pierre aime Marie"; "Georges aime Rudolph" etc. 

• Les "objets du discours" Pierre, Marie, a, b, A, B, etc., sont  des signes, des éléments sémantiques, et donc des concepts synchroniques: les uns en Ik, les autres en Ik+1.
• La liaison "aime" faisant passer de Ik à Ik+1, est par définition un concept diachronique. 

Or ce choix particulier de flèches "⟼", comme des tiges de fleurs (en Ik) que je prendrais en main (en Ik+1) pour offrir un bouquet, actualise l'une des potentialités que m'offre le fleuriste. Cette composition de flèches est d'ordre syntaxique, et c'est cela que l'on peut appeler en mathématiques une "algèbre".(Note du 08/09/2022)

Il y a donc, dans la comparaison d'une "algèbre" à un "signe" quelque chose de bancal.

- Mais tu as dit toi-même qu'un concept diachronique entre Ik/ Ik+1 était réifié en Ik+1 ! Dans ta métaphore, ce que tu offres ce sont les fleurs, pas tes manipulations de tiges.

- Oui, certes et cela éclaire le propos de Foucault, mais il ne l'a pas articulé ainsi. Mon trouble vient de rendre ainsi cohérent ce qui, à l'époque où il fut écrit, ne pouvait l'être. Ce faisant, j'ai peur de surinterpréter le texte. 

- Explique-toi !

- L'image qui s'impose irrésistiblement à moi, là, tout de suite, est celle-ci:

C'est l'image de l'ensemble des "nombres rationnels" représentés dans le plan complexe (voir "L'action et sa représentation").

- Tu nous éloignes très loin de notre sujet !

- Eh bien pas tant que ça, on pourrait même dire qu'il en est l'essence même. Il faut revenir à d'Alembert, vers 1744, lorsqu'il s'intéresse à l'algèbre, précisément, et à la question de la résolution des équations de degré n. Il a l'intuition que le nombre de racines d'une équation est égal à son degré. Nous sommes ici, pleinement dans ce que Foucault appelle la mathesis, dans la partie gauche de son schéma: nous nous intéressons à la "nature simple" des nombres et à l'algèbre qui les manipule.

Bien, mais il se trouve que pour répondre à cette question, il faut faire l'hypothèse du continu, et passer de l'ensemble des nombres réels à celui des complexes. Et tout de suite, tu vois se repointer Foucault :

"La taxinomie implique en outre un certain continuum des choses (une non-discontinuité, une plénitude de l'être) et une certaine puissance de l'imagination qui fait apparaître ce qui n'est pas, mais permet, par là même, de mettre au jour le continu." p. 132

Franchement ! Peut-on croire qu'il ait écrit ceci sans référence à l'évolution des mathématiques ?

Je te le rappelle pour mémoire : l'ensemble N est imaginable en I01 (là où s'exprime la logique), ensuite, avec l'hypothèse du continu (et l'axiome de séparabilité), nous imaginons l'ensemble R des réels en IR, puis, par itération du saut I01/ IR, nous constituons les nombres complexes, et du même coup les espaces géométriques affine ou vectoriel, avec I01< IR.

Et lorsqu'il parle de "faire apparaître ce qui n'est pas", comment ne pas penser à l'impossible nombre imaginaire √-1?

Mieux ! Il poursuit par :

"La possibilité d'une science des ordres empiriques requiert donc une analyse de la connaissance, - analyse qui devra montrer comment la continuité cachée (et comme brouillée) de l'être peut se reconstituer à travers le lien temporel des représentations discontinues." p. 132

Tu comprends mon trouble en lisant ça ! Il fait le lien entre cette représentation spatiale (en IR), continue, et la dégénérescence nécessaire vers I01 (qui introduit la dimension temporelle avec celle de successeur), pour arriver au contact du Réel : R< I1< I01< IR.

- Soit, mais pour en revenir à ce tableau ?

- Eh bien, ces points bleus représentent l'ensemble des nombres complexes qui sont les racines d'équations rationnelles, ce sont les points d'arrivée possible en IR de ce qui est imaginable en I01 et alors, le blanc de notre carte, c'est ce qui reste irréductible à I01.

Si tu fais l'analogie:

• I01 ≡ Ik, niveau où imaginer la "mathesis";
• IR ≡ Ik+1 niveau où imaginer la "taxinomia";

Tu retrouves une parfaite analogie avec ce que Foucault dit de  mathesis et  taxinomia; mieux : tu synthétises le tout en deux lignes.

- Ne peux-tu pas avancer d'un pas, dire que Ik=I01 et IR=Ik+1 ?

- Il faudrait revenir à ce que nous avons vu au sujet des groupes, ensembles (voir ici), et structures algébriques (voir ici et ici) pour en discuter. Disons que toutes les structures jusqu'aux anneaux commutatifs et aux corps sont en I01, quand une "algèbre" au sens de structure algébrique, te fait franchir le gap I01/ IR. En ce sens le terme de "mathesis" manque de la précision nécessaire en mathématiques.

Mais l'idée est là: le discours de Foucault doit être réductible aux niveaux que nous avons déjà identités en mathématiques.

- Mais faut-il faire l'exercice?

- Oui, pour une raison fondamentale : il n'y a pas de niveau imaginable entre I1 et I01, ni entre I01 et IR. Ce qui nous permet de dire que le niveau de rupture (ou la "pliure" pour reprendre un de ses termes) entre ce que Foucault appelle mathesis et taxinomia ne peut se faire qu'en IR, celui de notre tableau des nombres complexes ci-dssus !

- Attend une minute, avant de poursuivre. Tu nous indiques une hiérarchie entre taxinomia et mathesis qui ne semble pas aller de soi. Lors de ta première lecture, remontant à une bonne vingtaine d'années, il me semble bien que tu t'étais fait une idée contraire de leur relations. En effet, avant de "comprendre" le fonctionnement d'un système quelconque, on commence d'abord par en distinguer les parties, c'est ce que nous enseigne Descartes. Avant de remonter un moteur, on étale bien soigneusement toutes les pièces sur un chiffon propre. Autrement dit, la taxinomia serait au plus proche du Réel, du multiple, quand la mathesis, synthétiserait ce qu'elle expose.

- Eh non justement; là tu t'embarques dans des considérations portant sur la réduction de la complexité, vue d'un point de vue d'informaticien ! 

- C'est la première fois que tu nous parles de "complexité" !

- Et sans doute la dernière, ça n'a jamais été ma tasse de thé.

Il y a toujours un prima du mouvement sur l'objet, qui n'est jamais une donnée pure, mais résulte d'un processus. Reviens sur le développement de l'enfant, tel que l'observe Piaget (voir "L'entropologie génétique"). Au premier stade sensori-moteur, l'enfant intériorise des "schèmes d'actions", c'est à dire des suites de gestes, se succèdant, dans le temps. Ensuite, à partir du premier niveau préopératoire, il commence à faire des arrangements d'objets, dans l'espace, et sa progression intellectuelle se marque par ses rapports l'espace.

On peut faire le même constat dans le domaine culturel d'une société quelconque. D'abord vient le besoin de cohérence du discours, ce qui passe par l'aspect dichotomique de nos repérages, et ce dès les "cultures froides" les plus anciennes, ensuite vient le principe du tiers exclu ou de non-contradiction chez Aristote, d'où découle toute notre logique. Linné ne vient que bien après pour collecter, classer les plantes,  et s'intéresser à leur taxinomie.

Je n'avais pas, lors de ma première lecture, pris conscience de l'irréductibilité à la logique d'une la topologie qui ne peut se développer qu'au fur et à mesure de la stratification de notre Imaginaire.

- Je vois qu'après avoir caractérisé le développement de l'enfant par cette structuration progressive logique/ topologie, tu fais de même au niveau culturel de notre société.

- L'élégance tient dans la simplicité.

- Une pointe contre la "pensée complexe" ?

- No comment.

- Va pour cette recherche esthétique. J'ai bien compris que tu caractérises le cogito cartésien comme "le stade du miroir" de notre pensée occidentale, c'est-à-dire l'apparition d'une symétrie I'm<Im et la possibilité d'une pensée double logique/ topologique, qui correspond assez bien à la mathesis/ taxinomia de Foucault.

Mais alors, si tu as rapproché la Renaissance, jusqu'à la fin du XVIe siècle au stade sensori-moteur de l'enfant, et le cogito cartésien au stade du miroir à la bascule Im<S => R<Im caractérisant le passage à l'âge classique, à quel stade du développement de l'enfant correspondrait la fin de cet âge classique ?

- Le plus facile serait de déterminer la limite de son développement par rapport à ce qu'il ne permet pas de penser. Or cette limite est un peu délicate, car le développement de la pensée n'est pas homogène entre toutes ses branches.

Foucault date cette articulation du moment où Destutt met en question le prima du signe dans la pensée

... le jour où Destutt reprochera à Gerando d'avoir fait une théorie des signes avant d'avoir défini l'idée... " (voir ci-dessus).

C'est-à-dire autour de 1804, lorsqu'il publie ses éléments d'idéologie. Mais en physique, par exemple, il y a longtemps que Fermat ou Maupertuis appuient leurs raisonnements, non pas seulement sur des principes de "conservation", ou "d'invariance" des objets ou de quantités qui leur sont attachées, ce qui correspondrait à l'étude des signes attachés aux objets, mais à un principe général de "simplicité" (voir "Du principe premier de la physique"). C'est en optique le principe de Fermat, publié dès 1662, à peine 25 ans après que Descartes ait publié sa Dioptrique ! Ensuite, Pierre de Maupertuis découvrant les travaux de Newton à Londres en 1728, énoncera son principe de moindre action qui guide la physique jusqu'à nos jours, et pour sans doute encore longtemps.

"Maintenant, voir ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême: lorsqu'il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible"

Or, ce principe, qui se pose explicitement comme le fruit d'une sagesse divine, échappe totalement à la démarche Cartésienne, purement immanente.

Comme toujours, pourrait-on dire, la physique est en avance sur l'esprit de son temps. C'était vrai de Copernic, Giordano Bruno, Galilée, Decartes, Fermat ou Maupertuis, comme nous le voyons ici, mais nous pourrions parler également d'Einstein ou de Planck.

- D'accord, chaque pan de l'expérience humaine se développe à son propre rythme, cependant, le développement en question suit le même processus, si je te comprends bien ?

- C'est justement pour repérer ce schéma général que je m'efforce de ramener ces processus au développement du langage mathématique lui-même.

- Soit, mais concrètement ?

- En physique, nous avons ramené l'expression de ce principe de moindre action au saut IR/ I#, c'est-à-dire à la notion de volume et de mesure (voir Lebesgue), et par itération du saut IR/I#, à celle de formes antisymétriques, en bref à la géométrie et à la physique symplectiques (voir Souriau). 

En ce qui concerne l'enfant, Piaget ne nous est pas d'un grand secours, car sa démarche reste immanente, en négligeant complètement les rapports de l'enfant à l'Autre. Toutefois, il nous mène, jusqu'au premier saut IR/ I#, permettant à l'enfant de comprendre la conservation d'un volume d'eau lorsqu'on le transvase d'un récipient à un autre. C'est-à-dire un niveau permettant de comprendre la mécanique de Newton (voir "Au coeur de la physique").

Pour répondre à ta question, on peut dire que l'âge classique suit tous les stades du développement que Piaget repère chez l'individu. Mais comme sa démarche elle-même est immanente, ceci ne nous aide pas pour en marquer la limite.

- Il faudrait donc en rester au questionnement de Destutt ? 

- J'en ai peur. La fin de l'âge classique, c'est la remise en cause d'une démarche purement immanente. Remise en cause précoce chez les physiciens avec un parti-pris de simplicité : "Dieu fait au plus simple" chez Maupertuis, ou" Dieu fait le meilleur des Mondes" chez Leibniz, qui réintroduit une transcendance : Im<  S.

- Soit, mais en as-tu fini avec ce chapitre "mathesis/ taxinomia" ?

- Pas tout à fait : Foucault nous parle également de genèse, en la rattachant à la taxinomia.

Voir la suite ici : "mathesis, taxinomia et genèse").

Bonne rumination.

Hari

Note du 08/ 09/ 2022 :

- Toujours la même chose : quelques lecteurs ont parcouru hier ce texte, et pas curiosité, je le relis à mon tour. Et pour une fois, je suis agréablement surpris de voir que malgré le chemin parcouru depuis son écriture, le fond de la discussion reste consistant.

- Il y a quand même le manque de distinction entre niveaux et modes de penser.

- Oui, bien entendu, mais le plus important reste la coupure mathesis / taxinomia repérée par Foucault.

Simplement, si je rapporte bien ici cette rupture à celle fondamentale qui existe en mathématiques entre discret en [⚤] et continu en [#], et à cet égard, la représentation de l'ensemble des nombres rationnels dans le plan complexe reste une excellente illustration, je n'avais pas vu l'implication logique que cela entraîne.

- Peux-tu préciser ?

- Lorsque tu réalises une taxinomie, pour marquer par exemple les liens entres espèces animales, cela revient à faire un graphe. Et donc, oui, en mode ♧, il y a bien le passage à une pensée catégorique de niveau  [#] (i.e.: non plus simplement ordonnée de niveau [⚤]), comme je l'écrivais dans le texte, mais cette présentation spatiale de la taxinomie (en mode ♧) se double d'un passage à une pensée "topologique" en mode ♢, car les liaisons entre parties de l'ensemble (ici des espèces animales) ne sont pas de même nature que les éléments de l'ensemble considéré (i.e.: les liens ne sont pas des animaux).

Il convient donc de compléter le passage de la taxinomia à la mathesis de cette façon : 

- En somme, tu trouves enfin le carré commutatif que tu cherchais à voir dans l'illustration de Foucault ?

- Eh oui ! Avoue que les choses vont en se simplifiant, non ?