D'Archimède à Lebesgue

Ma femme repartie à Abidjan, ma cadette en vol vers Nice, je somnole à moitié, dans la pénombre des persiennes fermées en tuile, bercé par le bruissement du vent dans le tilleul du voisin. La douceur du moment me renvoie à ce déjeuner champêtre dont je vous ai déjà entretenus. Et les propos que nous échangions avec MW le matheux, affleurent à ma conscience dans un mouvement de flux et reflux, au gré du vent.

MW parlait de Lebesgue et de sa façon d'appréhender la mesure. Selon lui, tout tient au volume (il faudra que je recherche des références précises, mais ce n'est pas ici l'important). Par exemple la meilleure façon de mesurer la surface d'une figure complexe est de la tracer sur une feuille de carton, de la découper et ensuite de la peser. Connaissant la masse volumique du carton et son épaisseur, on en déduit sa surface. De même pour connaître la longueur d'une pelote de ficelle: inutile d'en dérouler le fil, il suffit de la peser et de connaître le poids d'une unité de longueur dudit fil.

Je sens que cette approche me servira d'une façon ou d'une autre. Il y a déjà le fait qu'elle est par essence "géométrique", au sens où j'emploie ce mot par opposition à "logique" (je me réserve d'affiner ultérieurement mon vocabulaire).

En effet, une approche "logique" consisterait à déterminer les parties d'une figure pour, en les recomposant, retrouver la figure globale, tandis que Lebesgue plonge l'objet de son attention (surface 2D ou pelote 1D) dans un contexte, un concept, plus grand; à savoir un volume 3D.

Cette réflexion doit être liée d'une façon ou d'une autre au théorèmes de Noether. Je ne sais pas encore comment y arriver, mais c'est là. Et je presse à froid cette intuition, pour en garder une trace non formatée par un langage mathématique que je ne maîtrise pas encore.

Si j'avance qu'un "concept synchronique" à un niveau Imaginaire donné Ik est la réification du "mouvement" d'un concept synchronique de niveau inférieur Ik-1 "agi" par un concept diachronique entre Ik-1 et Ik, la question est : Quel est le "+ conceptuel" qu'apporte cette "montée diachronique", par rapport au niveau initial Ik-1?

La réponse, qui tient à notre façon anthropomorphe d'articuler notre pensée par le langage, doit s'exprimer simplement, avant même toute formalisation mathématique... Essayons ceci : de façon très élémentaire, Noether relève qu'à toute "symétrie" correspond un "invariant" et une "indétermination".

Par exemple : constater qu'un système reste inchangé par une translation dans l'espace (symétrie) implique que son impulsion soit conservée (invariant). C'est le principe d'inertie de Galilée. Reportons-nous à ce que nous avons vu concernant le principe d'incertitude d'Eisenberg: si nous repérons un mobile en Ik-1 se déplaçant sur une ligne droite en Ik, le temps est le concept diachronique entre Ik-1 et Ik, et nous avons montré que ce passage de Ik-1 à Ik s'accompagnait d'une indétermination. Nous avons bien nos trois pieds du triptyque noetherien.

Bien, mais quel est dans notre exemple ce "+ conceptuel" acquis en passant de Ik-1 à Ik ? Si nous partons de l'espace, nous arrivons à la vitesse, si nous partons de la masse, nous arrivons à l'impulsion. J'hésite entre les deux, faute d'une approche satisfaisante du concept de masse (j'espère beaucoup de la symplectisation de la physique pour y arriver), mais l'essentiel est là : dans cet exemple, l'important tient à la réification du temps; et notre "+ conceptuel", c'est l'invariant en question.

Maintenant, revenons à la géométrie, c'est-à-dire dans une pensée qui n'est plus liée au temps et donc, n'est plus de l'ordre de la procédure ou de la logique.

Revenons, en premier sur le passage du concept d'entier naturel (N) à celui de réel (R) et à l'argument diagonal de Cantor. Tout nombre n de N peut s'écrire comme une suite de 0 et de 1, avec l'idée d'un saut discret, ou de "successeur", permettant de passer de n à n+1, et donc, pour coller à nos développements précédents, le niveau Imaginaire où je peux développer le concept d'entier naturel n'est autre que I01, le niveau où s'élabore toute la logique. Cantor montre par son argument diagonal, qu'il est impossible de réduire le concept de R à celui de N, autrement dit, que le concept de R (situons-le en IR), au-delà de I01, est par nécessité, un concept qui doit s'inscrire dans le domaine (I01; I0) de la géométrie (i.e.:  I01 < IR < I0).

Quel est alors le "+ conceptuel" de R par rapport à N, qui caractériserait, pour ainsi dire l'entrée dans le domaine de la géométrie ? C'est, bien entendu l'hypothèse du continu !

Et vous voyez comme moi (je l'espère pour vous !), comment les axiomes autour desquels les mathématiciens cogitent viennent naturellement à l'esprit dans l'ordre de leur utilité, et comme ils peuvent être compris à leur tour comme des "invariants" de la pensée !

• Le premier "invariant", si vous acceptez l'emprunt de ce terme c'est, avec la constitution du domaine Imaginaire (entre I1 et I0) et la prise de conscience du Sujet (i.e. : la constitution du Moi en I0), la nécessité de l'axiome de choix.
• Le second, avec le saut I01 => IR initiant la géométrie, c'est l'hypothèse du continu.

Je vais vite, en construisant mon patron à points de bâti (voire des points de capiton pour les lacaniens ), pour en arriver à l'étape suivante, qui vient après l'intuition de la droite en géométrie.

Lebesgue parle de "volume" (la surface étant un volume à 2 dimensions), c'est-à-dire qu'il s'agit du concept au-delà de celui de droite. Or la surface s'exprime par une forme bilinéaire antisymétrique (i.e. : la surface d'un losange délimité par deux vecteurs (a; b) et (a'; b') est de la forme ab' - a'b); et tout me souffle, comme ce vent dans mes oreilles : "...symplectique, symplectique..."

Je ne vais pas développer aujourd'hui, mais j'ai en tête que Newton a utilisé le fait que l'aire d'un triangle (en Ik) est le produit de sa base par sa hauteur (chacun en Ik-1), invariant, lorsque la hauteur se déplace sur la ligne de base, pour démontrer la loi des aires de Kepler.

Et je n'oublie pas Archimède sortant de son bain en s'écriant Euréka ! Parce qu'il avait compris que le volume (en Ik) d'une masse d'eau est un "invariant", lorsque sa surface (en Ik-1) se déforme ...

Je ne sais pas comment j'y arriverai, mais la perspective me semble toute tracée : il me faut comprendre comment caractériser et où situer le niveau Imaginaire à partir duquel nous pouvons manipuler les formes symplectiques, et faire le lien avec la théorie des topos...

Bon, je pense que le programme se dessine petit à petit pour la rentrée !

Bonne méditation

Hari

PS du 15/08/2018 :

Sans oublier qu'il faut situer dans ce tableau le niveau Imaginaire où inscrire la géométrie perspective nécessaire à l'expression de la relativité, ce qui est une autre paire de manches...