L'observable et l'objet

Peut-on être à la fois enthousiaste et désespéré ? Enthousiaste de ce que j’entre-aperçois, désespéré d’envisager le chemin qu’il me reste à parcourir dans une région que j’ignore totalement !

Chaque pas me plonge dans un abîme de méditations et je désespère d’arriver à faire le pas suivant avant d’en sortir.

Prenez la notion d’objet initial vide { } et terminal, le point {•} dans la Catégorie des Ensembles (Ens). J’y consacre pas mal de lignes en page 15 du chapitre IV, pour aboutir à l’idée que l’objet final est au plus proche du Réel, quand l’objet initial, son reflet, est au plus proche du Symbolique. J’ai même utilisé la forme canonique des mythes pour expliquer la genèse de l’un par l’autre.

Je n’ai pas insisté et suis passé à la suite, mais enfin, c’est quand même très fort : nous avons pour ainsi dire "borné" notre Imaginaire en délimitant ainsi l’espace diachronique qui sépare le Réel du Symbolique… Avec une petite difficulté : cet espace (0,1) est ouvert pour le Sujet en Im (ex post par rapport au référé de {•} et ex ante par rapport au référé de { }) ; et je ne peux le voir , moi le DM, comme fermé qu’en sortant du discours… Et ce n’est pas tout : mon discours synchronique, portant sur cette "fermeture" diachronique de l'Imaginaire, borne du même coup tout espace synchronique dans lequel il se déploie ! Ce qui nous renvoie au problème de "norme" des mesures en science physiques : on retrouve notre vitesse c par exemple et certainement la constante de Planck h...

Chaque niveau synchronique de mon discours est donc borné. Et là nous retombons dans l’étonnement de Poincaré, lorsqu’il comprend en 1880, que l’espace auquel il a affaire pour représenter les solutions des fonctions fuschiennes est non euclidien. Ce qui m’y fait penser, c’est ce passage à 50’47 sur la vidéo de cette conférence d’Étienne Ghys, rapportant l’image que Poincaré donne d’un tel espace non-euclidien :

"Supposons […] un monde renfermé (dans un grand cercle) et soumis aux lois suivantes :

La température n’est pas uniforme elle est maximale au centre, et elle diminue au fur et à mesure que l’on s’en éloigne, pour se réduire au zéro absolu quand on atteint (le cercle) où ce monde est renfermé […]".

Je vous invite à regarder la petite simulation que Ghys propose pour illustrer le phénomène.

Et tout d’un coup, cette image me renvoie à une très vieille lecture qui m’avait frappé, adolescent, en lisant "Ma thémagie" de Douglas Richard Hofstadter. Je tâcherais de retrouver la référence exacte pour le bouquin, mais en gros, l’auteur remarquait que notre langage se précise lorsqu’il se rapproche du sujet, et devient plus vague concernant les choses lointaines. Il y a dans l’image de Poincaré quelque chose du même ordre.

Et je me dis que nous retrouvons ici le fait que l’espace naturel dans lequel nous nous représentons n’a pas primitivement euclidien. Je boucle, au sujet de l’espace, sur la discussion que j’ai développée au sujet de la logique (page 6 du chapitre IV) : nous reconstruisons à partir de l’espace Euclidien, un espace plus général, plus intellectuel, qui en fait nous rapproche de notre perception primitive...

Réflexion qui nous ramène d’ailleurs à l’idée que l’époque de la Renaissance, celle qui se clos sur Galilée avec des considérations sur le mouvement, est inaugurée par une modification du regard des peintres, avec l’invention de la perspective… Ce qui nous ramène à Florence et à la cartographie… Avec cette discussion sur le "point de fuite", qui était vu comme "terme" de la perspective à l’époque : nous ramenant à nos réflexions sur la fermeture ou non de l’espace : la perspective ne rapportant pas la vue à l’infini, mais à la mesure de l’Homme (la rationalité). Je vous engage à écouter David Arasse, qui est passionnant à ce sujet.

En fait, me remémorant Alain Conne martelant qu’il faut associer une logique, un espace et des objets, je comprends que chaque niveau Imaginaire est en soi un univers (il faudra voir s’il s’agit d’un Univers au sens de Grothendieck) dans lequel logique / espace / objets sont les reflets l’un de l’autre (on passe d’une Catégorie à l’autre par un foncteur).

Mais, me direz-vous, notre espace familier est malgré tout euclidien !

Oui, et le terme de "familier" signifie "localement", autour de nous : nos sens nous renvoient des "cartes" du monde localement euclidiennes. De même qu’une carte routière, représente "à peu près" sur une surface plane, une partie d’une surface sphérique (à peu près là encore !).

Vous voyez dans quel abîme de réflexions me plongent ces concepts d’objets initial et final. Avec cette idée d'un cheminement vers l'une ou l'autre, qui renvoie à l'idée de limite et de colimite...

Autre sujet de méditation, en reprenant ma parabole de la scène de théâtre sur laquelle le Réel serait du côté jardin, à gauche du spectateur, et le Symbolique du côté cour, à sa droite, avec un miroir semi-transparent au centre de la scène reflétant les objets situés côté jardin vers l’acteur situé entre ce miroir médian et le côté cour (à droite de la scène). J’en suis venu à cette idée que ce miroir est tout simplement le discours de l’acteur, ou la projection de ce qu’il aperçoit, ou pour le dire autrement : son "observable", c’est-à-dire, lorsqu’il cherche à décrire (en position ex post, regardant vers le jardin), ce qu’un projecteur Symbolique (derrière lui, côté cour) pourrait éclairer. Notre miroir recueillerait alors d’une part ce que l’objet éclairé renvoie de lumière et d’autre part, l’ombre de notre acteur.

Cette ombre portée sur la projection de l’objet, me fait irrésistiblement pense au théorème de Brouwer : nous en avions déjà parlé ici, mais d’autres réflexions me viennent à ce sujet.

Une première méditation me porte à considérer ce miroir comme opérant une sorte de "changement de phase" sur ce qui le traverse. Par exemple si l’on considère que l’objet initial { } du coté cour, devient l’objet final {•} du côté jardin. Alors l’opération multiplication, attachée à l’un devient l’addition, attachée à l’autre. Et cette transformation est pleine de sens : la multiplication et primitivement associée à la répétition d’un geste, j’en ai suffisamment parlé au sujet de mon tirage d’allumettes ! Et son référé est donc un concept purement diachronique, tandis que l’addition est essentiellement le constat (donc synchronique) du résultat. Voyez ce que j’entends par "déphasage" : cette torsion diachronie / synchronie qui s’opère. Nous retrouvons ici une antienne éculée entre l’être et l’avoir : comment l’homme amasse des objets par peur de ne pas être etc. Bref, nous en sommes à ce récapitulatif de Lawver & Schanuel dans "Conceptual Mathematics" :

Mon miroir prend ici la forme de ce trait séparant les colonnes de droite et de gauche…

À ceci se greffe une autre méditation autour de la multiplication d’objet (j’en parle page 24 du chapitre IV). Nous en étions arrivés à comprendre la multiplication comme l’équivalent logique du "ET". Avec cette idée, surtout, que les "observables" de la position d'un oiseau sont le repérage de son ombre portée au sol et la mesure de sa hauteur. Autrement dit deux projections.

Mais deux projections de quoi ? D’un objet "réel" ou de l’idée que je m’en fais ? Et c’est toute la question. En présence de ces deux projections, puis-je en déduire l’existence d’un oiseau sur le côté gauche de la scène, vers le côté jardin, le Réel, ou s’agit-il d’un simple reflet de mon Imaginaire, du côté cour, Symbolique, du miroir ?

Et là je comprends d’un coup, en visionnant cette vidéo de Daniel Bennequin datée de 2011 que c’est la question centrale, ouverte par Poincaré, discutant d’espace et de géométrie dans "La science et l’hypothèse" comme rencontre entre une série d'impressions internes et une autre série de repérages externes, que l’on retrouve avec les topos de Grothendick.

Qu’est-ce qu’un topos ? Une Catégorie munie :

• De limites et colimites

• D’exponentielles

• D’un classificateur de sous-objets.

Le point qui m’occupe ici, c’est ce classificateur. Par exemple, dans la Catégorie des Ensembles, c’est {0 ; 1}. Cela signifie que je peux rapporter toute description d’un objet à une suite de morphismes sur ce classificateur : c’est ce que je fais en ce moment en tapant ce que j’écris sur ce clavier. Je traduis ma pensée en suite de 0 et 1, que vous réinterprétez à votre sauce en regardant votre écran. Cela nous renvoie à la définition d’une pensée rationnelle se référant à un crible explicite (pour pouvoir être partagée). J’en parle au sujet des problèmes de choix et détermination (page 32 du chapitre IV).

L’image qui me trotte dans la tête, et nous ramène à ce qui a été développé au sujet de la multiplication des objets, c’est que le classificateur est toujours du côté cour, Symbolique du miroir, même si l’objet en observation est du côté jardin, Réel.

Ce qui m’oblige à réorganiser quelque peu les cônes utilisés pour expliquer les notions de limite et de colimite afin de tenir compte de cette dissymétrie.

Voilà, j’en suis là de ma réflexion, mais comme vous pouvez le voir, ça part dans tous les sens ! J’en suis à m’intéresser aux topos, alors que je n’ai même pas encore assimilé correctement les premiers rudiments de la Catégorie des Ensembles… Pourtant je vois déjà des similitudes d’un plan à l’autre, J’ai besoin de temps pour décanter tout ceci…

Bonne rumination

Hari.