"Entropologie" des "catégories" #9 - Idempotence et points fixes

Il m’a fallu avancer pas mal dans ma lecture, avant d’être frappé par l’importance du concept d’idempotence. Le déclic fut le théorème du point fixe de Banach.

Concept central, au point de rabattre sur lui un ensemble d’autres concepts en physique comme en psychanalyse qui semblent y conduire directement. L’idempotence serait, en quelque sorte un point fixe dans la catégorie des concepts. Bien, mais de quoi s’agit-il ?

Revenons au problème de rétraction, là on nous en étions restés, dans mon dernier billet (cf.: #8). Dans mon schéma,

J’étais allé trop vite en schématisant une hiérarchie d’ordre Imaginaire entre les objets A, en I_A et B, représenté en I_B. Non pas que ce soit faux, mais plutôt que cette hiérarchisation elle-même résulte d'un processus passé sous silence.

Il faut revenir à ma représentation antérieure : il n’y a pas de commune mesure entre A et B, avant que je n’envisage une relation entre les deux à un niveau Imaginaire où je puisse me les représenter ensemble. Ce que j’avais plus justement représenté dans ce billet #4 par le schéma suivant :

Qu’est-ce que le niveau Imaginaire I_AB exactement ? C’est celui où je contextualise un domaine en le caractérisant en fonction d’un codomaine. Et, dans ce contexte donné, j’énonce un prédicat, concernant les éléments du domaine. C’est une façon plus générale de dire que j’énonce une phrase s’articulant entre sujet/ verbe/ complément. Suivons l’exemple du livre :

Nous avons d’une part un ensemble d’individus  (B : people of America) et d’autre part un ensemble de régions (A : congressional districts). Il n’y a pas nécessairement de rapport hiérarchique Imaginaire entre les deux, préexistant à celui que j’établis, de par ma propre volonté, en les convoquant à un niveau Imaginaire I_AB où je puisse préciser le lien que j’établis entre eux : le nœud reliant deux branches de l’arbre Imaginaire. Ce niveau est celui où j'exprime le schéma présenté : ma feuille de papier idéale. Bien, maintenant, et à ce niveau (à ce nœud), nous pouvons dénombrer les éléments constitutifs de A et B, et nous laisser porter par le développement mathématique.

Maintenant, j’assigne une résidence à chaque citoyen (r = residence). À noter que j’élude la question du temps qu’il me faut pour effectuer concrètement cette action, puisqu’en I_AB, j’ai «réifié» (ou rendu synchronique) cette action par nature diachronique. Nous en avons déjà parlé.

Enfin, je choisis les représentants du Congrès. (s = choise of representants).

Si l’opération est bien faite, c’est-à-dire que les représentants du Congrès «représentent» effectivement l'ensemble des districts, alors nous avons par définition : rs = 1_A. Et cette notion de «représentant» fait résonner en moi une vieille discussion de Lacan concernant les termes allemands « Vorstellungsrepräsentanz » vs « Repräsentanz », au sujet du Moi du sujet. Je le note ici pour y revenir à l’occasion. Ici les congressistes représentent les districts au sens de «Repräsentanz».

D’une certaine façon, cette carte identité de A => A nous conforte a posteriori sur le fait que notre idée de découpage géographique « tient la route ». On pourrait dire que 1_A nous conforte dans notre contextualisation de l’ensemble B des habitants par le découpage électoral A. Autrement dit, je me rassure sur mes intentions : je retombe sur mes pattes. Maintenant, si l’on considère que B, l’ensemble de la population est l’objet de mon observation, le sujet de mon discours, alors, le fait de le contextualiser, c’est-à-dire de focaliser mon attention sur un certain aspect de cette population, induit des points fixes. En effet, que se passe-t-il dans la boucle suivante : B => A => B qui se résume à un endomorphisme B => B ? Les éléments de B sont renvoyés sur des points fixes, à savoir ici les congressistes : rs = e : chaque habitant d’un district est renvoyé au représentant du district.

Et c’est là où je voulais attirer votre attention : en focalisant mon attention, c’est-à-dire en contextualisant (à l’aide de A) mon discours pourtant sur un sujet quelconque (ici B),

• d’une part je m’élève dans mon système Imaginaire : je passe de I_B à I_AB avec I_B < I_AB ;
• d’autre part je discerne, au sein de l’objet B en observation, des points particuliers, ou points fixes.

D’une certaine façon, je m’informe sur l’objet en observation, ou je le « mets en forme » ce qui est équivalent. Nous voyons donc ici, de façon extrêmement primitive de quelle façon l’intention du sujet façonne la représentation de l’objet.

Et je retrouve ici, à la racine de la théorie des catégories, d’où l’on peut retracer tout le langage mathématique, et par là même tout le discours du physicien, l’importance de l’observateur au cœur de son observation. Lorsque nous avions discuté de la fonction identité ou bien de l’utilité du singleton (cf.: #5), ce n’était pas surprenant puisque le mathématicien s’affirmait dans l'expression de son discours. Mais pour l’idempotence, l’influence du sujet est moins immédiate. Il s’agit d’une cristallisation partielle de l’objet (les points fixes) due au choix du contexte.

Je pense qu’il faut garder ceci présent à l’esprit pour avancer vers la compréhension de ce que le physicien appelle des « observables ».

Mais, pour les psychanalystes, j’ai un autre sujet de réflexion concernant le processus lui-même. Souvenez-vous de ce que dit Lacan à propos du langage : les règles du langage surgissent d’elles-mêmes. Nous l’avons ici à l’état brut, lorsque vous prenez pour objet d’étude le langage lui-même. Alors le langage sécrète de lui-même des lois au fur et à mesure que vous prenez du recul pour l’observer. J’en avais parlé dans ce billet «une loi symbolique de Lacan», où je joignais une petite application sous Excel pour l’illustrer ; ce qui est plus parlant que les graphes utilisés par Lacan.

Je crois que ce mécanisme est si fondamental qu’il doit être utilisé par l’enfant au cours de son développement. Par la répétition. L'enfant induit des "point fixes" dans ces représentations, à partir de catégories qui lui sont transmises par "lalangue" dans laquelle "on lui parle", dans laquelle il baigne. L'appropriation des catégories qui lui sont imposées doit utiliser la répétition, de boucles de fonctions rsrsrs etc... Et dans ce bouclage, l'enfant s'approprie les catégories transmises dans le même temps qu'il stabilise sa vision des choses. Comme dans le jeu de fort / da du petit-fils de Freud.

Si fondamental, même qu'il devrait être possible de le mettre en évidence par l’imagerie neurologique du cerveau, à des stades plus élémentaires de la pensée, en dehors du langage, comme dans la formation des images, par exemple dans  la "reconnaissance" des visages.

Bonne méditation.

Hari