La diagonale de Cantor / part 2

21 Mars 2018

C'est l'instant, c'est le lieu de nous attaquer au topos de Grothendieck.

Pas question de suivre toute l'histoire des mathématiques qui mènerait à ce concept, j'en suis intellectuellement incapable, quand bien même en aurais-je le temps. C'est donc le moment de tenter un pari, attitude philosophique pour certains, essence même de l'esprit scientifique pour d'autres. Il s'agit de se donner une théorie a priori, et voir ensuite si les conséquences que l'on en tire "collent" avec l'observation... Ou d'espérer plus modestement qu'en adoptant le "bon" point de vue nous éclairerons utilement notre chemin.

Quel est donc ce pari, l'intuition qui me guidera ?

Si je rapproche ce qui vient d'être dit sur ce niveau de discours I₀₁ dans le précédent billet, de ce qui fut avancé de la représentation du Sujet en I_m juste avant, la tentation est grande de voir, à l'intérieur même de l'Imaginaire, ce niveau I₀₁ comme un "point fixe" dans la pensée rationnelle au même titre que, I_m est un "point fixe" marquant une rupture entre pensée rationnelle / pensée mythique.

Resterait alors à qualifier la différence entre le regard porté de I₀₁ vers I₁, l'objet final, ce que nous avons délimité comme du domaine de la logique, et ce qui peut être dit à partir de I₀₁ de l'espace qui mêne à I₀... L'idée qui me vient c'est que jusqu'à I₀₁, nous gardons une idée assez nette du temps comme "diachronique". C'est évident par exemple, dans la catégorie des graphes qui conduit à la réalisation d'automates. D'ailleurs c'est revendiqué par le mathématicien lui-même lorsqu'il recherche des démonstrations "constructivistes". L'argument diagonal de Cantor est de cet ordre. Conformément à notre conception du temps, le niveau I₀₁ serait en ce sens le dernier niveau en position ex post pour y rapporter une perception d'un "temps diachronique". Autrement dit, la bascule qui s'opère en I₀₁:

I₀₁ ex post par rapport à I₁
I₀₁ ex ante par rapport à I₀

marquerait une "réification du temps", et plus généralement la "géométrisation" des concepts au-delà de I₀₁. C'est à ce niveau sans doute que l'on pourrait situer notre questionnement concernant le rapport du temps à l'espace (voir ici). L'idée n'est pas neuve: déjà Poincaré dans "La science et l'hypothèse" pointait la double nature de l'espace et de la géométrie. Plus près de nous, Jean-Pierre Changeux dans "l'homme neuronal" distingue dans le mécanisme de fixation des sensations au niveau de l'hypothalamus, la rencontre entre un "percept", ou processus d'acquisition des sensations, et un "concept", du domaine de la remémoration, de l'image ou de la topologie. Nous en revenons peu ou prou à nos deux cerveaux...

Le changement de perspective est bien évidemment repérable dans la façon d'aborder un sujet. Par exemple, pour étudier ce qu'il appelle les fonctions Fuschiennes, Poincaré n'adopte pas une démarche "pas à pas", mais considère les "symétries" qui caractérisent l'espace où l'on repère les pôles de la fonction (voir cet exposé remarquable de clarté !). Il déplace le problème : il ne s'agit plus de "résoudre" une équation particulière mais de caractériser l'espace d'un type de fonctions dans sa généralité, pour retrouver l'équation donnée comme simple élément. De même que Grothendieck ne résout pas un problème particulier, mais recherche l'univers dans lequel il devient un cas particulier. Nous retrouvons ici le changement de perspective qui s'opère en physique quelque part entre Newton travaillant sur les lois de Kepler et Maupertuis caractérisant tout trajet réel comme celui de "moindre action".

Soit, mais concrètement, me direz-vous?

Eh bien, disons qu'entre I₁ et I₀₁, je concentre ma réflexion sur les parties de l'objet repéré en I₀₁, quand au-delà, je rapporte un espace qui me dépasse absolument aux cartes que je peux en faire en I₀₁. Toute l'astuce consisterait à utiliser, au-delà de I₀₁, les outils développés en deçà ... Ce qui va de paire avec la dualité limite (vers I₁) / colimite (vers I₀) et tous les concepts associés (X / +; produit / coproduit ; projection / injection ; homologie / cohomologie ...) et s'amorce avec la différence entre problèmes de choix / détermination.

Reste à déterminer ce qui, en topologie (i.e.: dans l'espace Imaginaire entre I₀₁ et I₀) aurait un rôle aussi fondamental que le rapport entre l'objet et ses parties en logique (i.e.: dans l'espace entre I₁ et I₀₁). En bref, quel est le questionnement fondamental de la topologie ?

Qu'est-ce qui est au centre de la topologie et absent de la logique ?

L'idée sans doute que l'objet n'est pas seulement déterminé par le dénombrement de ses éléments ou de ses parties, mais également par des rapports de proximité, déterminant localement sa "forme" générale. Avec ce constat brutal d'un gap irréductible entre un objet global et une description locale : c'est le théorème de Brouwer qui nous rappelle l'impossibilité de ramener la peau d'un tambour à sa périphérie de façon continue sans y faire un trou... Et nous voyons bien là un certain tropisme vers notre objet initial, vide, en I₀.

Tentons l'hypothèse suivante: quant la logique s'intéresse à la construction pas à pas de l'objet à partir de ses éléments, la topologique chercherait à déterminer l'élément à partir de ses relations avec son environnement. Et ce qui correspond à l'idée de "partie" en logique, serait la notion de "crible" en topologie.

Cette mise en perspective rend naturelle l'entrée en matière d'Olivia Caramello qui commence son cours en 2013 par la notion de crible de Grothendieck, défini en termes de catégories :

un "crible" d’un élément c d’une catégorie C est un ensemble de morphismes S d’éléments de C ayant tous pour codomaine c ;
une "topologie" de Grothendieck est une façon d’associer à tout élément c d’une catégorie C un ensemble J(C) de cribles de c.

Le changement de perspective est marqué par le changement de place de l'élément c dans les morphismes considérés :

En logique, l'élément c de C n'a pas de "chair" propre, à la limite, c'est un avatar du singleton, dont la "substance" est ramenée à la flèche d'un morphisme c : (*) --> C, avec le singleton comme domaine;
En topologie, l'élément c est en position de codomaine.

Or nous avons longuement analysé tout ce qu'implique cette position de codomaine pour un objet : d'une part son existence et ensuite son identité. Vous voyez la distance entre 1/ et 2/ !

Si, comme moi, vous avez encore un peu de mal à comprendre concrètement ces notions, Olivia Caramello suggère l'image d'une série (la "topologie") de tamis (les "cribles", au sens littéral) qui filtrent et calibrent du sable (les éléments). De ce point de vue, l'élément est ce qui traverse les trous. Vous voyez ainsi se développer une certaine tension entre deux approches de cet élément qui, d'une part est rattaché à l'objet final, par la déclaration de son existence et de son identité, et d'autre part à l'objet initial, par cette approche lacunaire de tamisage.

Ceci étant fait, l’étape suivante est de définir un Site par une paire (C, J) c’est-à-dire d’associer une catégorie et une topologie de Grothendieck.

Ensuite, eh bien la descente continue vers Ens, en faisant le lien avec faisceaux et préfaisceaux :

Un préfaisceau P de C est un morphisme de C^op - > Ens.

Et vous voyez bien le jeu Imaginaire auquel nous nous livrons en nous élevant d’abord des éléments c vers la catégorie C, pour redescendre ensuite de celle-ci (d’où le passage C / C^op) vers la catégorie des Ensembles Ens, qui restent en dernier ressort, les observables des éléments de C.

Je suis très loin de comprendre encore toute la mise en œuvre de ce schéma qui rappelle, à un niveau très élémentaire, les "ponts" auxquels fait référence Olivia Caramello, mais nous touchons sans doute ici à la mécanique interne de notre entendement circulant entre les différents niveaux synchroniques de notre Imaginaire, avec cette bascule si particulière entre logique et géométrie qui est assez facilement identifiable:

Entre I₁ et I₀₁, nous avons la possibilité de définir un morphisme portant de l'élément final à chaque élément d'un objet de la classe Ens : c : (*) --> C. Ceci implique la séparation des éléments, ainsi que leur possible dénombrement;
Entre I₀₁ et I₀, une approche topologique permet d'envisager des points non séparables dans des catégories non dénombrables.

D'où sans doute la restriction des démonstrations, à des "catégories petites", c'est-à-dire explicitement dénombrables à l'articulation de ces deux mondes.

Et il me semble bien que Cantor, avec son argument diagonal ait mis le doigt sur l’irréductibilité d’une descente (géométrique) à un mouvement de montée (logique) qui se traduirait par l’incommensurabilité de R et de N… Autrement dit avant même d'en arriver à la physique, les mathématiques ne sont pas un langage tout d'un bloc et dégénèrent bien avant d'en arriver à la Catégorie Ens, qui semble le langage élémentaire de l'observation physique.

J'ai encore un sacré bout de chemin avant d'en voir la fin du commencement, mais ça me semble prometteur !

Hari