Invariance de l'objet, conservation du mouvement.

Un ami chirurgien, spécialiste des organes mous, résumait ainsi son art: "tailler, écarter, tailler, écarter". Or, ce n'est peut-être pas évident, mais dans mon dernier billet "invariance et mouvement", en écrivant ceci :  

"Le schéma de commutation établit une symétrie au niveau Ik+1, associée à une invariance de notre objet A en Ik, et à une incertitude entre Ik et Ik+1"

nous avons pratiquement fini d'exposer tout ce qui est nécessaire à la prise de conscience de l'objet, c'est-à-dire la mise en perspective des niveaux I1 et I01 de notre Imaginaire. 

Ce fût un lent processus, qui m'a pris un an, et vous en suivrez le fil en surfant sur ce blog, si le coeur vous en dit. 

Nous en sommes maintenant au coup de scalpel suivant, qui ne fera passer de l'objet "topoï élémentaire" en I01 au "topoï de Grothendieck" à un niveau Imaginaire que je n'ai pas encore défini. Je sais seulement que cet objet, muni d'une topologie, nécessitant le concept "d'ouvert" demande, plus ou moins explicitement, l'hypothèse du continu, et donc qu'il se situe au moins en IR, premier niveau après I01. Nous avons déjà discuté de tout ceci, et nous nous sommes retrouvés dans cette voie, à discuter des" transformations naturelles".

Il y a donc une réflexion qui courre en parallèle entre une construction de plus en plus élaborée de "l'objet", et les modes de transformations de cet objet. Et cette montée progressive nous permet, à chaque palier, d'en situer le point aveugle, celui qui reste de l'ordre du non-dit mais par quoi tout est dit.

Pour l'objet final, en I1, c'est l'axiome de choix (et le principe du tiers exclu), qui instaure d'un même coup de lame la distance Imaginaire maximale I0/ I1, et donc l'objet initial en I0. Nous en avons longuement discuté dans plusieurs billets, avec cette idée que I0 et également celui de la représentation du Sujet (i.e.: I0=Im , voir l'élégance du vide).

Et nous avons fait le lien, dans le dernier billet (invariance et mouvement) entre cet objet et le mouvement entre I1 et I01, qui permet d'en prendre conscience, ce que rappelle la phrase en exergue ci-dessus, autrement dit, du mouvement portant de l'objet final au topoï...

=> I1 < I01 < Im   <=> objet initial < topoï élémentaire < Im

Bien, bien, bien...

Maintenant, nous sommes dans une position d'attente, par rapport à un topoï de Grothendieck en cours de définition ; topoï élémentaire < Im < topoï de Grothendieck, mais faute d'y arriver, nous pouvons peut-être nous faire une idée du mouvement qui y mènerait, c'est-à-dire d'en revenir à nos transformations naturelles, pour mettre à jour l'invariance et les symétries qui sont en jeu.

- Cette longue introduction n'était donc qu'une façon d'en revenir à ta préoccupation: est-ce que dans ton billet sur le sujet "foncteur et transformation naturelle" tu as oui ou non structuré un saut diachronique, ce qui ficherait toute ta théorie par terre ?

- Oui, c'est l'enjeu. D'où le recul pris dans le dernier billet pour en parler, ce qui nous a conduit à comprendre un carré commutatif comme la loi qui réifie et rend symétrique en I01 le saut diachronique I1 / I01. Fort de cette réflexion, reportons-nous maintenant sur notre "prisme" définissant une transformation naturelle. Pour mémoire, revenons au passage où Mc Lane en rappelle le concept dans "Sheaves in geometry and logic":

Ce que nous avons analysé de la façon suivante: 

"...la face inférieure se réduit à l'arrête f : C => C' et l'ensemble formerait un prisme que l'on pourrait décrire ainsi :

• Vue de dessus : le carré de Mc Lane liant F , G et α ;
• Vue de gauche : le carré de Lawvere pour f et F;
• Vue de droite : le carré de Lawvere pour f et G;
• Enfin, les deux triangles des vues de face et arrière sont triviaux : ce sont les définitions de F, G et α  respectivement en c et c'.

Bien entendu, les 2 carrés liés aux foncteurs et celui lié à la transformation naturelle, commutent."

Tout le problème tient à ces vues de droite et de gauche qui dressent entre deux niveaux synchroniques ce qui était à plat en I01 pour définir cette "loi" qui permet de considérer que "tous les sauts diachroniques" entre I1 et I01 sont "équivalents", ou pour le dire dans une métaphore physique, ont "même durée".

En dressant ainsi ces carrés commutatifs, je ne fais somme toute que garder pour la suite la loi que j'ai actée en I01... Donc, oui, j'ai effectivement gardé pour les sauts diachroniques ultérieurs, ce que j'ai déjà acté. D'ailleurs, vu de IR, et toujours dans une métaphore physicienne, cette "distance" de l'ordre du temps, donne la notion d'une "durée mesurable", grâce au principe d'inertie Galiléen, nous en avons déjà parlé...

- Te voici rassuré ?

- Oui, mais plus encore: ce qui est dit ici, c'est que non seulement l'objet se dégrade, en passant de Ik+1 à Ik, mais également le mouvement diachronique Ik/ Ik+1 qui y est attaché !

- Il en résulte que la logique comme les notions d'espace ou de temps propres à ces niveaux évoluent également, mais tu l'as déjà dit, je crois.

- Certes, mais avoue que cette relativité tous azimuts est difficile à garder toujours présente à l'esprit, d'où mes rappels multiples, ils me sont nécessaires pour ne pas me perdre moi-même dans mon propre discours.

- D'accord, mais depuis le début de cet article, tu n'as fait que des rappels, sans rien dire de neuf. Où donc veux-tu en venir ?

- La question est : si notre transformation naturelle intéresse les niveaux Ik et Ik+1 (avec I01 < ou = Ik ); quelle est la symétrie en Ik+1 qui se brise en Ik , et pour y donner quel invariant ?

- Ton objet en I01, tu l'as déjà puisque c'est un foncteur F : C => C'.

- Autrement dit, c'est une représentation synchronique, en I01, d'un mouvement ! L'objet que l'on manipule ici est un mouvement et l'invariance que l'on recherche doit être la plus élémentaire définition de la conservation du mouvement !

=> Après l'invariance de l'objet, l'invariance du mouvement.

L'importance du sujet méritait tous mes détours pour bien le cerner.

Or, si l'on considère les morphismes f : C => C' comme "l'objet de notre discours", notre "prisme" du billet "foncteur et transformation naturelle" se réduit à la pyramide de nos précédentes réflexions dans le billet "invariance et mouvement", et que nous dit notre nouveau carré commutatif en Ik+1 ?

=> Il est équivalent de repérer en Ik+1 un mouvement synchronique en Ik, suivi d'un mouvement diachronique (entre Ik et Ik+1), ou d'effectuer un mouvement diachronique, puis de repérer le mouvement synchronique en Ik.

- As-tu compris à quoi renvoie cette "transformation naturelle" ?

- J'ai du mal !

- Tout simplement au Hamiltonien !

=> Dans un mouvement la somme "énergie cinétique + énergie potentielle" se conserve.

- Tu en es quand même loin, non ?

- Pas tant que ça, puisqu'il nous suffit d'être en IR pour exprimer les équations d'Hamilton, et que nous savons déjà que Ik est > ou =  I01. Autrement dit les deux niveaux inférieurs pour effectuer une transformation naturelle sont I01 et IR. Tout ceci est cohérent, avec le principe d'inertie galiléen en IR, comme l'hypothèse du continu, pour exprimer des équations différentielles...

Nous retrouvons ainsi des notions très anciennes que les Grecs nous ont inculquées, en nous léguant leurs mots pour le dire. Je n'y reviens pas : j'ai développé tout ceci dans "L'Homme quantique" il y a quelques années déjà.

- Soit, et du coup, nous focalisons notre attention sur ce niveau IR, mais dis-moi, comment boucles-tu le triptyque invariant/ symétrie/ incertitude entre I01 et IR ?

- Pour le physicien, c'est assez facile.

• L'hypothèse du continu et le principe d'inertie (exprimables en IR), permettent de définir durée, longueur, et la vitesse.
• L'existence d'une vitesse limite c (en IR) associée au fait que les passages d'un niveau Ik à un autre Ik+1 sont discontinus, implique une durée minimale, et donc une longueur minimale (i.e.: c = longueur de Planck / temps de Planck);
• La même discontinuité diachronique, implique l'existence d'un quantum d'énergie (i.e.: hν)
• Nous venons de voir qu'à partir de I01/ IR, il y a "conservation du mouvement".

Dans cette perspective: 

• notre symétrie, c'est cette loi de conservation du mouvement en Ik+1,
• l'invariant, c'est l'énergie totale du mouvement (égale à l'énergie cinétique en Ik, ou l'énergie potentielle en Ik+1),
• l'incertitude, est liée à la quantification du mouvement due aux limites de longueur et de temps : l'énergie ne peut se transformer que par sauts discrets.

Cette métaphore physique, qui n'est qu'un aspect d'une transformation naturelle nous permet de mieux "comprendre" ce qui est en jeu en mathématiques. Le même langage peut servir à décrire tout autre mouvement dans une autre discipline, dans un autre horizon épistémologique, mais respectant les équivalents de ce qui se laisse facilement voir en physique.

- Comment le traduis-tu en langage catégorique ?

- Eh bien : 

• La symétrie est le carré commutatif de Mc Lane en IR ;
• L'invariant, c'est la structure du foncteur F en I01 ;

Quant à l'incertitude, c'est tout l'enjeu de notre discussion. Elle se trouve dans un saut diachronique, qui respecte une certaine structure établie au pas précédent. Elle se niche donc dans la nécessité que nous avons de répéter les sauts, et de définir α par une suite indicée en C. Autrement dit, l'incertitude se niche dans l'impossibilité d'une définition en "compréhension", à laquelle nous pallions par une définition en extension, à l'aide d'un "etc.", dont nous avons déjà discuté...

C'est dire que nous ne sommes pas sortis d'un automatisme de répétition, signe que nous sommes encore en attente d'un principe unificateur...

À suivre donc !

Hari.