Invariance et mouvement

Depuis mon dernier billet, je jongle dans ma tête avec cette forme de prisme qui pour moi représente une "transformation naturelle". Et je butte sur cette question: est-ce que j'ai oui ou non structuré un saut diachronique ?

Revenons au principe général, c'est à dire au schéma commutatif de Lawvere, utilisé au niveau le plus élémentaire, à savoir les simples morphismes. 

Schéma dans lequel, pour mémoire, A est mis pour "flèches" et B pour "points" de morphismes représentés par des graphes. Nous avons vu que les α, qu'ils soient X ou Y, sont les représentations synchroniques (à plat sur un niveau Ik+1) d'un mouvement qui les génère depuis Ik; en conjoignant un objet-domaine (en Ik) et un objet-codomaine (en Ik+1).

Maintenant, que signifie concrètement le fait que "le schéma commute" ? Que représentent X et Y ?

- Si je te suis bien, il s'agit de deux mouvements liant par deux voies différentes le même domaine A au même domaine B.

- C'est ça ! Nous sommes en train de comparer entre eux, au niveau Ik+1 deux mouvements ou transformations différents portant de A vers B. Maintenant revenons à Noether et au triptyque invariant/ symétrie/ incertitude caractérisant un saut diachronique, comme nous l'avons vu déjà  (ici: "syntaxe et sémantique"). Ma question est : que signifie un schéma qui "commute" au regard de ces critères ?

- C'est très précisément ce qui est écrit en regard du schéma : une symétrie: f_B º  α_x =  α_y º f_A

- C'est bien ça, mais que vois-tu dans cette symétrie ?

- Pas grand chose à vrai dire.

- Essaie de retrouver la forme de prisme que nous avons développée pour parler des transformations naturelles à ce niveau plus élémentaire.

- Dans ce cas, l'arête du prisme se réduit à un point en Ik : le domaine A de tous nos morphismes, et notre prisme se réduit à une pyramide.

• Vue de dessous : En Ik : le domaine A, notre racine;
• Vue de dessus : En Ik+1 : le carré commutatif de Lawvere;

- D'accord, maintenant, faisons le tour des quatre faces de cette "pyramide". Donc entre Ik et Ik+1:

• La vue de gauche correspond à la construction de X (voir "foncteur et transformation naturelle"): avec les deux ensembles de morphismes s et t, liant chacun le domaine A au codomaine B :
  • le(s) morphisme(s) s (pour source)  est (sont) l'arête A => X(B) ; 
  • le(s) morphisme(s) t (pour target) est (sont) l'arête A => X(A) ; 
  • la dernière arête α_x : X(A) => X(B) ferme le triangle au niveau Ik+1 .
• La vue de droite correspond à la construction de Y ;
• Les vues arrière et de face n'ont pas d'arête entre les niveaux Ik et Ik+1, car f est un "objet" sous forme de graphe (notre arête) au niveau Ik+1.

 - Cette représentation par graphes en Ik+1 t'a fait dire que nous changions de logique en changeant de niveau Imaginaire (voir "morphismes et foncteurs"). 

- Changement de logique à un niveau supérieur du discours, lorsque nous avons pris le recul nécessaire pour en parler. Mais revenons deux secondes sur des deux faces définissant X et Y. Ça ne te rappelle rien ?

- Rien d'autre que la représentation synchronique en Ik+1 d'un saut diachronique s suivi d'un saut t pour rapporter A à B.

- D'accord, mais oublie un peu les maths pour t'intéresser au mouvement derrière le discours en Ik+1. Je te rappelle que nous ne faisons pas ici un cours de maths, mais que nous en rechercherons les racines anthropomorphes, qui nous relient le plus intimement à notre expérience du Réel. Nous avons déjà discuté des notions de temps, espace et vitesse, qui se constituent entre I01 et IR, avec l'hypothèse du continu et la relativité galiléenne exprimées en IR  (cf.: "la mécanique de l'Imaginaire").

- Tu changes de discours et passe de la logique à la géométrie !

- C'est un peu le noeud du problème: il nous faut déterminer cette charnière et de quelle façon intuitive nous faisons le lien entre les deux. Or donc, pour préciser les choses, le niveau le plus élémentaire où situer la racine de notre pyramide, c'est I1, niveau de l'objet terminal, et celui où l'on trace le schéma de commutation est en I01. Ce qui nous ramène ici au plus élémentaire des discours sur le mouvement pour rapporter un objet A à un objet B. Et c'est exactement à ce niveau que nous avons discuté, il y a déjà pas mal de temps, dans l'Homme Quantique, du principe d'incertitude (discussion reprise dans "le principe d'incertitude sans les maths").

- Tu veux dire que les sauts s et t ne sont pas effectués en même temps ?

- Ne serait-ce que d'en parler me demande d'énoncer les deux l'un après l'autre, nécessité que nous oublions quand au lieu d'en parler je te présente un schéma, sur une feuille de papier, et que tu oublies également qu'en parcourant cette feuille, tes yeux font des mouvements, et que l'influx nerveux résultant de ta vision prend également son temps pour monter au cerveau, et qu'il te faut encore du temps pour qu'un percept soit identifié à un concept déjà acquis etc. En bref, le langage mathématique oublie superbement ces nécessités biologiques, c'est normal, c'est une abstraction nécessaire pour que la pensée puisse s'abstraire du Réel.

Mais toutefois, avant d'être consciemment oublié, cet oubli doit être justifié par une loi, et donc mon discours doit en garder la trace, et cette trace, tu l'as devant les yeux.

- Précise parce que là, je ne vois rien du tout !

- Tu es bien d'accord qu'avant de pouvoir mesurer une distance et avant de pouvoir exprimer une égalité entre des mesures (c'est-à-dire avant IR) je ne peux pas mesurer de distance, et donc pas de possibilité de dire que mes "sauts diachroniques" sont de "même valeur", puisque je n'ai aucun concept pour parler de durée. C'est comme si, en voyant un lièvre courant dans un pré, puis passant derrière un arbre pour réapparaître de l'autre côté, j'étais incapable de savoir si pendant qu'il est caché à ma vue, mon lièvre fait une virée sur la planète Mars avant de reparaître. Or, je sais, qu'il est sur une trajectoire que je peux anticiper pour préparer mon coup de fusil. Mon chien même le sait. Il y a donc un mécanisme extrêmement primitif, ancré dans mon cerveau qui me le fait savoir.

- Et ce serait cette loi de commutation ? 

- Oui bien sûr! Regarde-la d'un oeil neuf, en faisant une métaphore avec ce que nous avons dit du "mouvement" pour discuter du principe d'incertitude, (i.e.: à un niveau supérieur IR, où nous distinguons espace, temps, vitesse). Que nous dit le principe d'incertitude ?

- Qu'il est impossible de situer en même temps un objet et de mesurer sa vitesse, parce que pour mesurer une vitesse je dois déterminer deux positions, et qu'entre les deux, j'ai un saut diachronique, dont je ne peux rien dire.

- Nous y sommes ! Maintenant, ramène ceci à un niveau plus élémentaire du discours, en I01. Ici, nous parlons de deux morphismes s et t, correspondant au repérage par notre α_x en I01, de l'objet A en I1, ce qui équivaudrait à une "vitesse" en Ik+1 pour un objet en Ik, définissant un "mouvement" ou une "transformation"  X de cet objet.

- C'est un peu capillotracté, mais acceptons exercice, ça te mène où ?

- Prenons d'abord le cas où Y = X, c'est-à-dire que je répète le mouvement X, alors f_A et f_B se réduisent aux identités de A et de B; et je dis que c'est la même chose de pointer A, puis de faire une transformation, ou de faire une transformation, et d'en pointer le résultat.

 - C'est nier le principe d'incertitude !

- Voilà, tu y es ! Le schéma de commutation établit une symétrie au niveau Ik+1, associée à une invariance de notre objet A en Ik, et à une incertitude entre Ik et Ik+1.

Nous prolongeons ainsi notre réflexion quant à l'enracinement des principes de Noether au plus profond de notre Imaginaire (cf.: le nota du 09/09/2018 dans "Métaphysique"). Ce schéma de commutation est le chaînon manquant entre l'expérience très primitive, indicible, entre Réel/ I1 et  l'expression de l'hypothèse du continu comme du principe de relativité galiléenne entre I01/ IR.

- D'accord pour cette mise au point, mais tu n'a toujours pas traité la question que tu te posais au sujet des transformations naturelles.

- Je te propose d'en faire un prochain billet, ce que nous avons dit du schéma commutatif me semble déjà un bon morceau à digérer !

Hari